QCM - Exercice 1

La bonne réponse est $$c$$.$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)$$ et $$v\left(x\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4} \right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-\sin \left(x+\frac{\pi }{3} \right)$$ et $$v'\left(x\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-\sin \left(x+\frac{\pi }{3} \right)\times\sin \left(x-\frac{\pi }{4} \right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)\times\cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)$$
$$f'\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)\times\cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)-\sin \left(x+\frac{\pi }{3} \right)\times\sin \left(x-\frac{\pi }{4} \right)$$
Dans la dérivée, on considère que $$A=x+\frac{\pi }{3}$$ et $$B=x-\frac{\pi }{4}$$.
Il en résulte donc que :
$$f'\left(x\right)=\cos \left(A\right)\cos \left(B\right)-\sin \left(A\right)\sin \left(B\right)$$, ce qui permet d'écrire :
$$f'\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{4}\right)$$
$$f'\left(x\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{12}\right)$$

La bonne réponse est a.
$$\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)=0$$ . On va multiplier tous les termes par $$\frac{\sqrt{2} }{2}$$, d'où :
$$\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(x\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(x\right)=0\times\frac{\sqrt{2} }{2}$$
$$\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(x\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(x\right)=0$$
$$\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)\cos \left(x\right)+\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\sin \left(x\right)=0$$
Il en résulte donc que : $$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=0$$ . Or $$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$$. Il vient alors que :
$$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)$$

$$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{\pi }{4} -x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{\pi }{4} -x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} { -x} & {=} & {\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ { -x} & {=} & {-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} { -x} & {=} & {\frac{\pi }{4}+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ { -x} & {=} & {-\frac{3\pi }{4}+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\cos \left(\frac{\pi }{4} -x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} { x} & {=} & {-\frac{\pi }{4}-2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ { x} & {=} & {\frac{3\pi }{4}-2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Il s'agit , ici, de toutes les solutions dans $$\mathbb{R}$$. Donc , en particulier , on a : $$S=\left\{\frac{-\pi }{4} ;\frac{3\pi }{4} \right\}$$

La bonne réponse est d.$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$
On reconnaît la forme $$\left(u^{n} \right)^{'} =nu'u^{n-1}$$ avec $$u\left(x\right)=\sin \left(x\right)$$ et $$n=2$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$
Il vient alors que

La bonne réponse est a.Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(\pi x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} \pi\times\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}$$.
Intéressons nous maintenant au calcul de : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}$$. Nous allons procéder par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to 0}\pi x$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to 0 } \pi x =0$$
On pose $$X=\pi x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $$0$$ alors $$X$$ tend vers $$0$$.
Or : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=\lim\limits_{X\to 0} \frac{\sin \left(X\right)}{X}=1$$
Par composition :
Finalement : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(\pi x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} \pi \times\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=\pi \times1=\pi$$