D’une part : nous savons que
12x+7y=5D’autre part : nous avons démontré à la question
1 que :
12×1+7×(−1)=5Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
12x+7y−(12×1+7×(−1))=5−5 12x+7y−12×1−7×(−1)=0 12x+7y−12×1+7×1=0 12x−12×1=−7×1−7y12(x−1)=7(−1−y) Soient
a,
b et
c trois entiers relatifs non nuls. Si
a divise le produit
b×c et si
a et
b sont premiers entre eux alors
a divise
c.
Donc
12 divise
7(−1−y). Or on sait que
12 et
7 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss,
12 divise
(−1−y). On peut donc dire que
−1−y=12k où
k∈Z et donc que
y=−1−12kEn remplaçant l'expression
y=−1−12k dans l'équation
12(x−1)=7(−1−y) , il vient :
12(x−1)=7(−1−(−1−12k))12(x−1)=7(−1+1+12k)12(x−1)=7×12k . On simplifier par
12, ce qui nous donne :
x−1=7kAinsi :
x=7k+1Nous venons de trouver le couple
(x;y)=(7k+1;−1−12k) et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation
(E) .
Ainsi :
12x+7y=12(7k+1)+7(−1−12k)12x+7y=12×7k+12×1+7×(−1)+7×(−12k) 12x+7y=12×1+7×(−1) 12x+7y=12−7 12x+7y=5On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation
(E) sont :
S={(7k+1;−1−12k)} où
k∈Z