Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit k un entier naturel non nul .Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b) Nous savons que
PGCD(x;y)=8Cela signifie que
x est un multiple de
8 ou encore que
(8∣x) qui se lit
8 divise
x. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k tel que :
x=8k .
Cela signifie également que
y est un multiple de
8 ou encore que
(8∣y) qui se lit
8 divise
y. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k′ tel que :
y=8k′ .
Il vient alors que :
{x+yPGCD(x;y)==488 équivaut successivement à :
{8k+8k′PGCD(8k;8k′)==488{8×(k+k′)8×PGCD(k;k′)==488{k+k′PGCD(k;k′)==84888{k+k′PGCD(k;k′)==61 Il est important de ne pas oublier que
k et
k′ sont premiers entre eux car
PGCD(k;k′)=1Comme
x<y alors
8k<8k′ donc
k<k′ . Le seul couple
(k;k′) d'entiers non nuls vérifiant
k+k′=6 est alors :
(1;5) Finalement le couple solution est de la forme
(x;y)=(8k;8k′) . Ainsi :
(8×1;8×5) d'où :
(8;40) Le seul couple solution est alors :
S={(8;40)}