Déterminer un inverse de $$a$$ modulo $$n$$ lorsque $$a$$ et $$n$$ sont premiers entre eux - Exercice 3

Il est évident tout d'abord que $${\color{red}{11}}$$ et $${\color{blue}{28}}$$ sont premiers entre eux car $$\text{PGCD}\left(28;11\right)=1$$
Maintenant, nous cherchons une valeur de $$b$$ tel que : $${\color{red}{11}}b\equiv 1\left[{\color{blue}{28}}\right]$$
Autrement dit, $$11b=28k+1$$ que l'on peut écrire $$11b-28k=1$$ où $$b$$ et $$k$$ sont des entiers.
Il nous faut donc trouver $$\blue{\text{une solution particulière}}$$ de l'équation diophantienne $$11b-28k=1$$ . Nous allons ici donner directement le résultat.
$$\red{\text{N'hésitez pas à reprendre la fiche d'exercices}}$$ $$\purple{\text{déterminer une solution de l'équation}}$$ $$\purple{au+bv=1}$$ $$\red{\text{pour avoir la rédaction type}}$$.
Nous obtenons alors :
$$11\times \left({\color{green}{-5}}\right)-28\times\left(-2\right)=1$$ . Cela signifie que $${\color{green}{b=-5}}$$ .
Car : $$11\times \left({\color{green}{-5}}\right)=1+28\times\left(-2\right)$$
D'où:
Il en résulte donc que $$11$$ est inversible modulo $$28$$ .

$$11x\equiv 19\left[28\right]$$ équivaut successivement à :
$$11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv 19\times \left(\purple{-5}\right)\left[28\right]$$
$$11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv -95\left[28\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$11\times \left(-5\right)\equiv 1\left[28\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -95\left[28\right]$$
De plus : $$-95+4\times28=17$$
Ainsi :
$$x\equiv -95\left[28\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$11x\equiv 19\left[28\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=17+28k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .

$$11x\equiv 15\left[28\right]$$ équivaut successivement à :
$$11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv 15\times \left(\purple{-5}\right)\left[28\right]$$
$$11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv -75\left[28\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$11\times \left(-5\right)\equiv 1\left[28\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -75\left[28\right]$$
De plus : $$-75+3\times28=9$$
Ainsi :
$$x\equiv -75\left[28\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$11x\equiv 15\left[28\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=9+28k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .