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Déterminer un inverse de aa modulo nn lorsque aa et nn sont premiers entre eux - Exercice 3

10 min
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Question 1

Démontrer que 1111 est inversible modulo 2828 .

Correction
Soient n{\color{blue}{n}} un entier naturel tel que n>1n>1 et a{\color{red}{a}} un entier tels que a{\color{red}{a}} et n{\color{blue}{n}} soient premiers entre eux.
On dit qu'un entier a{\color{red}{a}} admet un inverse modulo n{\color{blue}{n}} s'il existe un entier b{\color{green}{b}} tel que : ab1[n]{\color{red}{a}}{\color{green}{b}}\equiv 1\left[{\color{blue}{n}}\right].
Il est évident tout d'abord que 11{\color{red}{11}} et 28{\color{blue}{28}} sont premiers entre eux car PGCD(28;11)=1\text{PGCD}\left(28;11\right)=1
Maintenant, nous cherchons une valeur de bb tel que : 11b1[28]{\color{red}{11}}b\equiv 1\left[{\color{blue}{28}}\right]
Autrement dit, 11b=28k+111b=28k+1 que l'on peut écrire 11b28k=111b-28k=1bb et kk sont des entiers.
Il nous faut donc trouver une solution particulieˋre\blue{\text{une solution particulière}} de l'équation diophantienne 11b28k=111b-28k=1 . Nous allons ici donner directement le résultat.
N’heˊsitez pas aˋ reprendre la fiche d’exercices\red{\text{N'hésitez pas à reprendre la fiche d'exercices}} deˊterminer une solution de l’eˊquation\purple{\text{déterminer une solution de l'équation}} au+bv=1\purple{au+bv=1} pour avoir la reˊdaction type\red{\text{pour avoir la rédaction type}}.
Nous obtenons alors :
11×(5)28×(2)=111\times \left({\color{green}{-5}}\right)-28\times\left(-2\right)=1 . Cela signifie que b=5{\color{green}{b=-5}} .
Car : 11×(5)=1+28×(2)11\times \left({\color{green}{-5}}\right)=1+28\times\left(-2\right)
D'où:
11×(5)1[28]{\color{red}{11}}\times \left({\color{green}{-5}}\right)\equiv 1\left[{\color{blue}{28}}\right]

Il en résulte donc que 1111 est inversible modulo 2828 .
Question 2

Résoudre alors l'équation 11x19[28]11x\equiv 19\left[28\right]

Correction
11x19[28]11x\equiv 19\left[28\right] équivaut successivement à :
11x×(5)19×(5)[28]11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv 19\times \left(\purple{-5}\right)\left[28\right]
11x×(5)95[28]11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv -95\left[28\right]
D'après la question 11, nous avons montré que 11×(5)1[28]11\times \left(-5\right)\equiv 1\left[28\right]. Nous pouvons donc écrire que :
x95[28]x\equiv -95\left[28\right]
De plus : 95+4×28=17-95+4\times28=17
Ainsi :
x95[28]x\equiv -95\left[28\right]\Rightarrow
x17[28] x\equiv 17\left[28\right]

Les solutions de l’équation 11x19[28]11x\equiv 19\left[28\right] sont alors les entiers de la forme x=17+28kx=17+28kkZk \in \mathbb{Z} .
Question 3

Résoudre alors l'équation 11x15[28]11x\equiv 15\left[28\right]

Correction
11x15[28]11x\equiv 15\left[28\right] équivaut successivement à :
11x×(5)15×(5)[28]11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv 15\times \left(\purple{-5}\right)\left[28\right]
11x×(5)75[28]11x\times \left(\purple{-5}\right)\equiv -75\left[28\right]
D'après la question 11, nous avons montré que 11×(5)1[28]11\times \left(-5\right)\equiv 1\left[28\right]. Nous pouvons donc écrire que :
x75[28]x\equiv -75\left[28\right]
De plus : 75+3×28=9-75+3\times28=9
Ainsi :
x75[28]x\equiv -75\left[28\right]\Rightarrow
x9[28] x\equiv 9\left[28\right]

Les solutions de l’équation 11x15[28]11x\equiv 15\left[28\right] sont alors les entiers de la forme x=9+28kx=9+28kkZk \in \mathbb{Z} .