Déterminer un inverse de $$a$$ modulo $$n$$ lorsque $$a$$ et $$n$$ sont premiers entre eux - Exercice 2

Il est évident tout d'abord que $${\color{red}{7}}$$ et $${\color{blue}{22}}$$ sont premiers entre eux car $$\text{PGCD}\left(22;7\right)=1$$
Maintenant, nous cherchons une valeur de $$b$$ tel que : $${\color{red}{7}}b\equiv 1\left[{\color{blue}{22}}\right]$$
Autrement dit, $$7b=22k+1$$ que l'on peut écrire $$7b-22k=1$$ où $$b$$ et $$k$$ sont des entiers.
Il nous faut donc trouver $$\blue{\text{une solution particulière}}$$ de l'équation diophantienne $$7b-22k=1$$ . Nous allons ici donner directement le résultat.
$$\red{\text{N'hésitez pas à reprendre la fiche d'exercices}}$$ $$\purple{\text{déterminer une solution de l'équation}}$$ $$\purple{au+bv=1}$$ $$\red{\text{pour avoir la rédaction type}}$$.
Nous obtenons alors :
$$7\times \left({\color{green}{-3}}\right)-22\times\left(-1\right)=1$$ . Cela signifie que $${\color{green}{b=-3}}$$ .
Car : $$7\times \left({\color{green}{-3}}\right)=1+22\times\left(-1\right)$$
D'où:
Il en résulte donc que $$7$$ est inversible modulo $$22$$ .

$$7x\equiv 14\left[22\right]$$ équivaut successivement à :
$$7x\times \left(\purple{-3}\right)\equiv 14\times \left(\purple{-3}\right)\left[22\right]$$
$$7x\times \left(\purple{-3}\right)\equiv -42\left[22\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$7\times \left(-3\right)\equiv 1\left[22\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -42\left[22\right]$$
De plus : $$-42+2\times22=2$$
Ainsi :
$$x\equiv -42\left[22\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$7x\equiv 14\left[22\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=2+22k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .

$$7x\equiv 8\left[22\right]$$ équivaut successivement à :
$$7x\times \left(\purple{-3}\right)\equiv 8\times \left(\purple{-3}\right)\left[22\right]$$
$$7x\times \left(\purple{-3}\right)\equiv -24\left[22\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$7\times \left(-3\right)\equiv 1\left[22\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -24\left[22\right]$$
De plus : $$-24+2\times22=20$$
Ainsi :
$$x\equiv -24\left[22\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$7x\equiv 8\left[22\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=20+22k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .