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Déterminer un inverse de aa modulo nn lorsque aa et nn sont premiers entre eux - Exercice 1

12 min
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Question 1

Démontrer que 99 est inversible modulo 1616 .

Correction
Soient n{\color{blue}{n}} un entier naturel tel que n>1n>1 et a{\color{red}{a}} un entier tels que a{\color{red}{a}} et n{\color{blue}{n}} soient premiers entre eux.
On dit qu'un entier a{\color{red}{a}} admet un inverse modulo n{\color{blue}{n}} s'il existe un entier b{\color{green}{b}} tel que : ab1[n]{\color{red}{a}}{\color{green}{b}}\equiv 1\left[{\color{blue}{n}}\right].
Il est évident tout d'abord que 9{\color{red}{9}} et 16{\color{blue}{16}} sont premiers entre eux car PGCD(16;9)=1\text{PGCD}\left(16;9\right)=1
Maintenant, nous cherchons une valeur de bb tel que : 9b1[16]{\color{red}{9}}b\equiv 1\left[{\color{blue}{16}}\right]
Autrement dit, 9b=16k+19b=16k+1 que l'on peut écrire 9b16k=19b-16k=1bb et kk sont des entiers.
Il nous faut donc trouver une solution particulieˋre\blue{\text{une solution particulière}} de l'équation diophantienne 9b16k=19b-16k=1 . Nous allons ici donner directement le résultat.
N’heˊsitez pas aˋ reprendre la fiche d’exercices\red{\text{N'hésitez pas à reprendre la fiche d'exercices}} deˊterminer une solution de l’eˊquation\purple{\text{déterminer une solution de l'équation}} au+bv=1\purple{au+bv=1} pour avoir la reˊdaction type\red{\text{pour avoir la rédaction type}}.
Nous obtenons alors :
9×(7)16×(4)=19\times \left({\color{green}{-7}}\right)-16\times\left(-4\right)=1 . Cela signifie que b=7{\color{green}{b=-7}} .
Car : 9×(7)=1+16×(4)9\times \left({\color{green}{-7}}\right)=1+16\times\left(-4\right)
D'où:
9×(7)1[16]{\color{red}{9}}\times \left({\color{green}{-7}}\right)\equiv 1\left[{\color{blue}{16}}\right]

Il en résulte donc que 99 est inversible modulo 1616 .
Question 2

Résoudre alors l'équation 9x5[16]9x\equiv 5\left[16\right]

Correction
9x5[16]9x\equiv 5\left[16\right] équivaut successivement à :
9x×(7)5×(7)[16]9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv 5\times \left(\purple{-7}\right)\left[16\right]
9x×(7)35[16]9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv -35\left[16\right]
D'après la question 11, nous avons montré que 9×(7)1[16]9\times \left(-7\right)\equiv 1\left[16\right]. Nous pouvons donc écrire que :
x35[16]x\equiv -35\left[16\right]
De plus : 35+3×16=13-35+3\times16=13
Ainsi :
x35[16]x\equiv -35\left[16\right]\Rightarrow
x13[16] x\equiv 13\left[16\right]

Les solutions de l’équation 9x5[16]9x\equiv 5\left[16\right] sont alors les entiers de la forme x=13+16kx=13+16kkZk \in \mathbb{Z} .
Question 3

Résoudre alors l'équation 9x11[16]9x\equiv 11\left[16\right]

Correction
9x11[16]9x\equiv 11\left[16\right] équivaut successivement à :
9x×(7)11×(7)[16]9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv 11\times \left(\purple{-7}\right)\left[16\right]
9x×(7)77[16]9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv -77\left[16\right]
D'après la question 11, nous avons montré que 9×(7)1[16]9\times \left(-7\right)\equiv 1\left[16\right]. Nous pouvons donc écrire que :
x77[16]x\equiv -77\left[16\right]
De plus : 77+5×16=3-77+5\times16=3
Ainsi :
x77[16]x\equiv -77\left[16\right]\Rightarrow
x3[16] x\equiv 3\left[16\right]

Les solutions de l’équation 9x11[16]9x\equiv 11\left[16\right] sont alors les entiers de la forme x=3+16kx=3+16kkZk \in \mathbb{Z} .