Déterminer si un nombre exprimé en fonction de $$n$$ est premier - Exercice 1

Soit $$n\ge 4$$ . On peut écrire que $$n^{2} -4=\left(n-2\right)\left(n+2\right)$$ .
$$\red{\text{Raisonnement par l'absurde}}$$ :
Supposons que $$n^{2} -4$$ est premier alors obligatoirement un de ces facteurs doit être égale à $$1$$.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
Si le premier facteur $$n-2=1$$ alors $$n$$ doit prendre la valeur $$n=3$$ mais cela n'est pas possible car $$n\ge 4$$ .
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
Si le deuxième facteur $$n+2=1$$ alors $$n$$ doit prendre la valeur $$n=-1$$ mais cela n'est pas possible car $$n$$ n'est pas un entier naturel.
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
On arrive à une contradiction, car on a supposé $$n^{2} -4$$ est premier et de ce fait obligatoirement un de ces facteurs devait être égale à $$1$$. C'est donc que l'hypothèse faite est fausse.
Pour tout entier naturel $$n$$ tel que $$n\ge 4$$, le nombre $$n^{2}-4$$ n'est pas premier .

Soit $$n$$ un entier naturel non nul. nous allons factoriser l'expression $$n^{3}-7n$$.
On a donc : $$n^{3}-7n=n\left(n^{2}-7\right)$$
$$\red{\text{Raisonnement par l'absurde}}$$ :
Supposons que $$n^{3}-7n$$ est premier alors obligatoirement un de ces facteurs doit être égale à $$1$$.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
Si le premier facteur $$n$$ vaut $$1$$ alors l'expression alors $$n^{3}-7n=-6$$ et $$-6$$ n'est pas un nombre premier.
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
Si le deuxième facteur $$n^{2}-7=1$$ alors $$n^{2}=8$$ ce qui implique que $$n=\sqrt{8}$$ ou $$n=-\sqrt{8}$$ mais cela n'est pas possible car $$n$$ n'est pas un entier naturel.
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
On arrive à une contradiction, car on a supposé $$n^{3}-7n$$ est premier et de ce fait obligatoirement un de ces facteurs devait être égale à $$1$$. C'est donc que l'hypothèse faite est fausse.
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, le nombre $$n^{3}-7n$$ n'est jamais premier.