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Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 1

3 min
5
COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1=(1+2i)(3−i)z_{1} =\left(1+2i\right)\left(3-i\right)

Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de z1z_1.
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|
∣z1∣=∣(1+2i)(3−i)∣\left|z_{1} \right|=\left|\left(1+2i\right)\left(3-i\right)\right|
∣z1∣=∣1+2i∣×∣3−i∣\left|z_{1} \right|=\left|1+2i\right|\times \left|3-i\right|
∣z1∣=(12+22)×(32+(−1)2)\left|z_{1} \right|=\left(\sqrt{1^{2} +2^{2} } \right)\times \left(\sqrt{3^{2} +\left(-1\right)^{2} } \right)
∣z1∣=5×10\left|z_{1} \right|=\sqrt{5} \times \sqrt{10}
∣z1∣=50\left|z_{1} \right|=\sqrt{50}
∣z1∣=25×2\left|z_{1} \right|=\sqrt{25\times 2}
Ainsi :
∣z1∣=52\left|z_{1} \right|=5\sqrt{2}