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Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 1

10 min
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On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont deux réels.
On pose Z=zz‾+2iz+3zZ=z\overline{z}+2iz+3z
Question 1

Calculez le nombre complexe ZZ sous forme algébrique.

Correction
Soit Z=zz‾+2iz+3zZ=z\overline{z}+2iz+3z
On pose z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy, on a alors
Z=(x+iy)(x−iy)+2i(x+iy)+3(x+iy)Z=\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)+2i\left(x+iy\right)+3\left(x+iy\right) équivaut successivement à
Z=x2+y2+2ix−2y+3x+3iyZ=x^{2} +y^{2} +2ix-2y+3x+3iy
Z=x2+y2−2y+3x+i(2x+3y)Z=x^{2} +y^{2} -2y+3x+i\left(2x+3y\right)
On a donc la partie réelle de ZZ qui vaut Re(Z)=x2+y2−2y+3x\text{Re}\left(Z\right)=x^{2} +y^{2} -2y+3x et la partie imaginaire de ZZ qui vaut Im(Z)=2x+3y\text{Im}\left(Z\right)=2x+3y .
Question 2

Déterminer l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à
2x+3y=02x+3y=0
3y=−2x3y=-2x
y=−23xy=-\frac{2}{3} x
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est donc la droite d'équation y=−23xy=-\frac{2}{3} x
Question 3

Déterminer l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Ainsi :
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
x2+y2−2y+3x=0x^{2} +y^{2} -2y+3x=0
x2+3x+y2−2y=0x^{2} +3x+y^{2} -2y=0
(x+32)2−(32)2+(y−1)2−(1)2=0\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0
(x+32)2+(y−1)2=134\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\frac{13}{4}
(x+32)2+(y−1)2=(132)2\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{13} }{2} \right)^{2}
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(−32;1)\Omega \left(-\frac{3}{2} ;1\right) et de rayon 132\frac{\sqrt{13} }{2}