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Résoudre une équation de degré 33 à coefficients réels dont une racine est connue - Exercice 1

12 min
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On considère l'équation (E)\left(E\right) : z3−3z2−3z−4=0z^{3} -3z^{2} -3z-4=0
Question 1

Vérifier que 44 est une racine de l’équation (E)\left(E\right) .

Correction
  • Une racine\red{\text{racine}} d'un polynôme P(x)P\left(x\right) est une valeur AA telle que P(A)=0P\left(A\right)=0
    • 43−3×42−3×4−4=64−3×16−12−44^{3} -3\times 4^{2} -3\times 4-4=64-3\times 16-12-4
    43−3×42−3×4−4=64−48−12−44^{3} -3\times 4^{2} -3\times 4-4=64-48-12-4
    43−3×42−3×4−4=64−644^{3} -3\times 4^{2} -3\times 4-4=64-64
    43−3×42−3×4−4=04^{3} -3\times 4^{2} -3\times 4-4=0
    Donc 44 est bien une racine de l’équation (E)\left(E\right) .
    Question 2

    En déduire une factorisation de (E)\left(E\right) .

    Correction
      Soit PP un polynôme de degré nn et AA un nombre complexe tel que P(A)=0P\left(A\right)=0, c'est à dire que AA esst une racine de PP.
    Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} PP sous la forme : P(z)=(z−A)Q(z)P\left(z\right)=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
    z3−3z2−3z−4z^{3} -3z^{2} -3z-4 est un polynôme de degré 33 et 44 est une racine . On peut alors écrire que :
    z3−3z2−3z−4=(z−4)Q(z)z^{3} -3z^{2} -3z-4=\left(z-4\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} 3−1\blue{3-1}
    z3−3z2−3z−4=(z−4)Q(z)z^{3} -3z^{2} -3z-4=\left(z-4\right)Q\left(z\right) où Q(z)=az2+bz+cQ\left(z\right)=az^{2}+bz+c
    Ainsi :
    z3−3z2−3z−4=(z−4)(az2+bz+c)z^{3} -3z^{2} -3z-4=\left(z-4\right)\left(az^{2}+bz+c\right)
    z3−3z2−3z−4=az3+bz2+cz−4az2−4bz−4cz^{3} -3z^{2} -3z-4=az^{3} +bz^{2} +cz-4az^{2} -4bz-4c
    z3−3z2−3z−4=az3+(−4a+b)z2+(−4b+c)z−4cz^{3} -3z^{2} -3z-4=az^{3} +\left(-4a+b\right)z^{2} +\left(-4b+c\right)z-4c
    Il faut que :
    1z3−3z2−3z−4=az3+(−4a+b)z2+(−4b+c)−4c{\color{blue}1}z^{3} {\color{red}-3}z^{2} {\color{purple}-3}z-4={\color{blue}a}z^{3} +\left({\color{red}-4a+b}\right)z^{2} +\left({\color{purple}-4b+c}\right)-4c
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification, on obtient le système suivant :
    {a=1−4a+b=−3−4b+c=−3−4c=−4\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}1}} \\ {{\color{red}-4a+b}} & {=} & {{\color{red}-3}} \\ {{\color{purple}-4b+c}} & {=} & {{\color{purple}-3}} \\ {-4c} & {=} & {-4} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {a=1−4×1+b=−3−4b+c=−3c=−4−4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {-4\times 1+b} & {=} & {-3} \\ {-4b+c} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {\frac{-4}{-4} } \end{array}\right.
    {a=1−4+b=−3−4b+c=−3c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {-4+b} & {=} & {-3} \\ {-4b+c} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b=−3+4−4b+c=−3c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {-3+4} \\ {-4b+c} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b=1−4×1+c=−3c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {-4\times 1+c} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b=1c=−3+4c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {-3+4} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b=1c=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Finalement, une forme factorisée de (E)\left(E\right) est alors : z3−3z2−3z−4=(z−4)(z2+z+1)z^{3} -3z^{2} -3z-4=\left(z-4\right)\left(z^{2}+z+1\right)
    Question 3

    Déterminer toutes les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} .

    Correction
    Nous souhaitons résoudre l'équation z3−3z2−3z−4=0z^{3} -3z^{2} -3z-4=0 . Or, d'après la question précédente : z3−3z2−3z−4=(z−4)(z2+z+1)z^{3} -3z^{2} -3z-4=\left(z-4\right)\left(z^{2}+z+1\right)
    Ainsi, il nous faut résoudre :
    (z−4)(z2+z+1)=0\left(z-4\right)\left(z^{2}+z+1\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z−4=0⇔z=4z-4=0\Leftrightarrow z=4
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2+z+1=0z^{2}+z+1=0
    On utilise ici le discriminant Δ=12−4×1×1=−3\Delta =1^{2} -4\times 1\times 1=-3
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−1−i32z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}
    et
    z2=−1+i32z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}

    Les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} sont S={4;−1−i32;−1+i32}S=\left\{4;\frac{-1-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{-1+i\sqrt{3} }{2} \right\}