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Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 1

20 min
35
COMPETENCES‾  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Résoudre dans C\mathbb{C} les équations du second degré ci-dessous.
Question 1

z2=−z−1z^{2} =-z-1

Correction
Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • z2=−z−1z^{2} =-z-1, on écrit l'équation sous la forme z2+z+1=0z^{2} +z+1=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−1−i32z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}
    et
    z2=−1+i32z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={−1−i32;−1+i32}S=\left\{\frac{-1-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{-1+i\sqrt{3} }{2} \right\}
    Question 2

    2z2−2z+3=02z^{2} -2z+3=0

    Correction
    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−20\Delta =-20, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=2−i204z_{1} =\frac{2-i\sqrt{20} }{4} d'où
    z1=12−i52z_{1} =\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{5} }{2}

    z2=2+i204z_{2} =\frac{2+i\sqrt{20} }{4} d'où
    z2=12+i52z_{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{5} }{2}

    Donc S={12−i52;12+i52}S=\left\{\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{5} }{2} ;\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{5} }{2} \right\}
    Question 3

    z2−5z+9=0z^{2} -5z+9=0

    Correction
    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−11\Delta =-11, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    d'où
    z1=5−i112z_{1} =\frac{5-i\sqrt{11} }{2}

    d'où
    z2=5+i112z_{2} =\frac{5+i\sqrt{11} }{2}

    Donc S={5−i112;5+i112}S=\left\{\frac{5-i\sqrt{11} }{2} ;\frac{5+i\sqrt{11} }{2} \right\}
    Question 4

    −2z2+4z−2=0-2z^{2} +4z-2=0

    Correction
    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=0\Delta =0 et z0=−b2az_{0} =\frac{-b}{2a} c'est à dire z0=−42×(−2)z_{0} =\frac{-4}{2\times \left(-2\right)}
    Finalement la solution est
    z0=1z_{0} =1

    Donc S={1}S=\left\{1\right\}
    Question 5

    2z2+3=02z^{2} +3=0

    Correction
    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−24\Delta =-24, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−i244z_{1} =\frac{-i\sqrt{24} }{4} d'où
    z1=−i62z_{1} =-i\frac{\sqrt{6} }{2}

    z2=i244z_{2} =\frac{i\sqrt{24} }{4} d'où
    z2=i62z_{2} =i\frac{\sqrt{6} }{2}

    Donc S={−i62;i62}S=\left\{-i\frac{\sqrt{6} }{2} ;i\frac{\sqrt{6} }{2} \right\}
    Question 6

    Soit z≠0z\ne 0 , résoudre : z+1z=1z+\frac{1}{z} =1

    Correction
    Soit z≠0z\ne 0 , on a : z+1z=1z+\frac{1}{z} =1 . Nous allons multiplier de part et d'autre de l'inégalité par zz. Il vient alors que :
    z2+1=zz^{2} +1=z
    Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • L'équation sous la forme z2−z+1=0z^{2} -z+1=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=1−i32z_{1} =\frac{1-i\sqrt{3} }{2}
    et
    z2=1+i32z_{2} =\frac{1+i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={1−i32;1+i32}S=\left\{\frac{1-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{1+i\sqrt{3} }{2} \right\}
    Question 7

    Soit z≠2z\ne 2 , résoudre : z−3z−2=z\frac{z-3}{z-2} =z

    Correction
    Soit z≠2z\ne 2
    z−3z−2=z\frac{z-3}{z-2} =z équivaut successivement à :
    z−3z−2=z1\frac{z-3}{z-2} =\frac{z}{1}
  • AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
    • (z−3)×1=z×(z−2)\left(z-3\right)\times 1=z\times \left(z-2\right)
    z−3=z2−2zz-3=z^{2} -2z
    z−3−z2+2z=0z-3-z^{2} +2z=0
    −z2+3z−3=0-z^{2} +3z-3=0
    Δ=−3\Delta =-3, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−3−i3−2z_{1} =\frac{-3-i\sqrt{3} }{-2} d'où
    z1=3+i32z_{1} =\frac{3+i\sqrt{3} }{2}

    z2=−3+i3−2z_{2} =\frac{-3+i\sqrt{3} }{-2} d'où
    z2=3−i32z_{2} =\frac{3-i\sqrt{3} }{2}

    Donc S={3−i32;3+i32}S=\left\{\frac{3-i\sqrt{3} }{2} ;\frac{3+i\sqrt{3} }{2} \right\}