Divisibilité et récurrence - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :$$ « $$4^{n}+5$$ est divisible par $$3$$ »
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
$$4^{0} +5=1+5=6$$
Or $$6$$ est bien divisible par $$3$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$4^{k} +5$$ est divisible par $$3$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ .
La propriété au rang $${\color{blue}{k+1}}$$ s'écriera : $$4^{{\color{blue}{k+1}}} +5$$
Par hypothèse de récurrence :
$$4^{k}+5$$ est divisible par $$3$$ . Cela signifie qu'il existe un entier $$\pink{A}$$ tel que $$4^{k}+5 =3\pink{A}$$
Partons de l'expression de la propriété au rang $$k+1$$, il vient que :
$$4^{k+1} +5=4^{k} \times {\color{orange}{4}}+5$$
$$4^{k+1} +5=4^{k} \times \left({\color{orange}{3+1}}\right)+5$$
$$4^{k+1} +5=4^{k} \times {\color{orange}{3}}+4^{k} \times {\color{orange}{1}}+5$$
$$4^{k+1} +5=4^{k} \times 3+4^{k} +5$$ . D'après l'hypothèse de récurrence, nous savons supposé vraie que $$4^{k}+5 =3\pink{A}$$.
Ainsi :
$$4^{k+1} +5=4^{k} \times 3+3\pink{A}$$ . Nous pouvons factoriser par $$3$$ l'expression . Ce qui nous donne :
$$4^{k+1} +5=3\left(4^{k} +\pink{A}\right)$$
Nous savons que $$k$$ est un entier et de ce fait l'expression $$4^{k} +\pink{A}$$ est également un entier que l'on note par exemple $${\color{brown}{B}}=4^{k} +\pink{A}$$.
Soit : $$4^{k+1} +5=3\times{\color{brown}{B}}$$
Il en résulte donc que $$4^{k+1}+5$$ est bien divisible par $$3$$.
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :