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Résoudre un système linéaire à l'aide de matrices - Exercice 1

8 min
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Question 1
On considère le système linéaire suivant : S1:{2x+3y=55x+7y=12S_{1}:\left\{\begin{array}{ccccc} {2x} & {+} & {3y} & {=} & {5} \\ {5x} & {+} & {7y} & {=} & {12} \end{array}\right.

Ecrire ce système sous la forme matricielle AX=BAX=B en précisant AA, XX et BB .

Correction
Le système S1S_{1} s'écrit sous forme matricielle AX=BAX=B avec A=(2357)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {3} \\ {5} & {7} \end{array}\right) ; X=(xy)X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et B=(512)B=\left(\begin{array}{c} {5} \\ {12} \end{array}\right) .
Question 2

Vérifier que la matrice AA est inversible .

Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
    • Nous avons A=(2357)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{3}} \\ {\pink{5}} & {\green{7}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    det⁡(A)=2×7−3×5\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{7}-\blue{3}\times \pink{5}
    det⁡(A)=14−15\det \left(A\right)=14-15
    Finalement :
    det⁡(A)=−1\det \left(A\right)=-1

    Comme det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 alors la matrice AA est alors inversible\red{\text{inversible}}.
    Question 3

    Déterminer la matrice inverse de AA que l'on note A−1A^{-1} .

    Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c} .
  • Une matrice est inversible\red{\text{inversible}} si et seulement si det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 et la matrice inverse de AA est égale à A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
    • Soit A=(2357)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{3}} \\ {\pink{5}} & {\green{7}} \end{array}\right)
    La matrice inverse de AA notée A−1A^{-1} est alors égale à :
    A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
    A−1=1−1(7−3−52)A^{-1} =\frac{1}{-1} \left(\begin{array}{cc} {\green{7}} & {-\blue{3}} \\ {-\pink{5}} & {\red{2}} \end{array}\right)
    Finalement :
    A−1=(−735−2)A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} {-7} & {3} \\ {5} & {-2} \end{array}\right)

    Question 4

    En déduire une solution du système linéaire S1S_{1} .

    Correction
    Le système S1S_{1} s'écrit sous forme matricielle AX=BAX=B
    Nous savons alors que :
    AX=BAX=B
    A−1×AX=A−1×B\red{A^{-1}} \times AX=\red{A^{-1}} \times B . On a introduit la matrice A−1\red{A^{-1}} et on rappelle que A−1×A=I2\red{A^{-1}} \times A=I_{2}
    I2×X=A−1×BI_{2} \times X=A^{-1} \times B
    X=A−1×BX=A^{-1} \times B
    Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )
    Si AA est inversible alors le système d'équation linéaires dont l'écriture matricielle est AX=BAX=B admet une unique solution. La solution est obtenue en calculant X=A−1BX=A^{-1}B .
    X=(−735−2)×(512)X=\left(\begin{array}{cc} {-7} & {3} \\ {5} & {-2} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {12} \end{array}\right)
    X=(−7×5+3×125×5−2×12)X=\left(\begin{array}{c} {-7\times 5+3\times 12} \\ {5\times 5-2\times 12} \end{array}\right)
    Ainsi : X=(11)X= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)
    Le couple solution est alors
    S={(1;1)}S=\left\{\left(1;1\right)\right\}