Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:An=(2n003n) Etape d’initialisation :On sait que
A1=ALa propriété
P1 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ :On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
Ak=(2k003k) et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
Ak+1=(2k+1003k+1)Nous savons que
Ak+1=Ak×A .
Ak+1=(2k003k)(2k×2+0×00×2+3k×02k×0+0×30×0+3k×3)(2003) Ak+1=(2k003k)(2k+1003k+1)(2003) Ak+1=(2k+1003k+1) Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
Conclusion :Puisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
An=(2n003n)