Pour tout entier naturel
n, on sait que :
−1≤sin(n)≤1 équivaut successivement à :
−1+n≤sin(n)+n≤1+n, on va ensuite diviser par
2n+1 qui est strictement positif
2n+1−1+n≤2n+1sin(n)+n≤2n+11+n2n+1−1+n≤un≤2n+11+nDans un premier temps :n→+∞lim−1+nn→+∞lim2n+1==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée
∞∞ On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par n et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par nIl vient alors que :
n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(n2n+1)n(n−1+n)n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(n2n+n1)n(−n1+nn)n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(2+n1)n(−n1+1) . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par
n .
n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞lim2+n1n−1+1n→+∞limn−1+1n→+∞lim2+n1==12} par quotient n→+∞lim2+n1n−1+1=21Finalement :
n→+∞lim2n+1−1+n=21Dans un deuxieˋme temps : On effectue la même démarche pour calculer
n→+∞lim2n+11+n et on obtiendra
n→+∞lim2n+11+n=21En définitive, d'après le théorème des gendarmes
n→+∞limun=21