Suites arithmético-géométriques - Exercice 1

$$v_{n} =u_{n} -12$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -12$$
On connait l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =0,85u_{n} +1,8-12$$
$$v_{n+1} =0,85u_{n} -10,2$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,85}u_{n} -10,2$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,85}$$ .
$$v_{n+1} =0,85\left(u_{n} -\frac{10,2}{0,85} \right)$$
$$v_{n+1} =0,85\left({\color{red} u_{n} -12}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -12}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,85$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -12=8-12$$ donc $$v_{0} =-4$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -12$$ donc : $$v_{n} +12=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$0< 0,85<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12$$
Ainsi :