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Savoir calculer les limites de la forme lim⁡n→+∞a×qn+b{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}} - Exercice 1

15 min
25
Déterminer les limites des suites (un)\left(u_{n} \right) suivantes :
Question 1

un=(−4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,85<10<0,85<1 alors :
lim⁡n→+∞(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12
Question 2

un=3×(23)n+1u_{n} =3\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n} +1

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<23<10<\frac{2}{3}<1 alors :
lim⁡n→+∞(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(23)n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} +1=1
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1
Question 3

un=2×(54)n−6u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 54>1\frac{5}{4} >1 alors :
lim⁡n→+∞(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n−6=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} -6=+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
Question 4

un=−3×(32)n+4u_{n} =-3\times \left(\frac{3}{2} \right)^{n}+4

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 32>1\frac{3}{2} >1 alors :
lim⁡n→+∞(32)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{2}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} =-\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n+4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} +4=-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
Question 5

un=(23)n+2(57)n+1u_{n} =\frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(\frac{5}{7} \right)^{n} +1}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<23<10<\frac{2}{3}<1 alors : lim⁡n→+∞(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
Comme 0<57<10<\frac{5}{7}<1 alors : lim⁡n→+∞(57)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{7}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞(23)n+2=2lim⁡n→+∞(57)n+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{7}\right)^{n}+1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient
lim⁡n→+∞(23)n+2(57)n+1=2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(\frac{5}{7} \right)^{n} +1} = 2
Question 6

un=2−(13)nn2+1u_{n} =\frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<13<1-1<\frac{1}{3}<1 alors : lim⁡n→+∞(13)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞2−(13)n=2lim⁡n→+∞n2+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient
lim⁡n→+∞2−(13)nn2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1} = 0