Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n-1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n+3}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{3}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4-\frac{1}{n} \right)}{n\left(2+\frac{3}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{1}{n} } & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }2+\frac{1}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7n+6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^2+2n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{7n+6}{n} \right)}{n^2\left(\frac{n^2+2n}{n^2} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{7n}{n} +\frac{6}{n} \right)}{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{2n}{n^2} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(7+\frac{6}{n} \right)}{n^2\left(1+\frac{2}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7+\frac{6}{n} }{n\left(1+\frac{2}{n}\right) }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7+\frac{6}{n} } & {=} & {7 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{2}{n}\right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2}-n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^2}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{2n^2-n+1}{n^2} \right)}{n\left(\frac{n+2}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{2n^2}{n^2} -\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{2}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)}{n\left(1+\frac{2}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) }{1+\frac{2}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{2}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^2}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{n^2+3}{n^2} \right)}{n^2\left(\frac{n^2+n+1}{n^2} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{3}{n^2} \right)}{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(1+\frac{3}{n^2} \right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n^{2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{3}{n^2} }{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^2} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n^{3}+5n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{4}+2n^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^3}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^4}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(\frac{3n^3+5n}{n^3} \right)}{n^4\left(\frac{n^4+2n^3+1}{n^4} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(\frac{3n^3}{n^3} +\frac{5n}{n^3} \right)}{n^4\left(\frac{n^4}{n^4} +\frac{2n^3}{n^4}+\frac{1}{n^4} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(3+\frac{5}{n^2} \right)}{n^4\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n^{3}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3+\frac{5}{n^2} }{n\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4} \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{5}{n^2} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2}\right)} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$