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Déterminer la limite de la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 1

5 min
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Question 1

Déterminer la limite de la somme SS des n+1n+1 premiers termes de la suite géométrique (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=9u_{0}=9 et de raison 18\frac{1}{8} .

Correction
La limite de la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme u0u_{0} et de raison qq, avec 0<q<10<q<1, est égale à u01−q\frac{u_{0}}{1-q}.
Autrement dit : u0+u1+…+un=u01−qu_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{u_{0} }{1-q}
SS est la somme des n+1n+1 termes d'une suite géométrique de raison q=18q=\frac{1}{8} et de premier terme u0=9u_{0}=9
Il en résulte donc que :
u0+u1+…+un=91−18u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{9 }{1-\frac{1}{8}}
u0+u1+…+un=988−18u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{9 }{\frac{8}{8}-\frac{1}{8}}
u0+u1+…+un=978u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{9 }{\frac{7}{8}}
  • A(BC)=A×CB\frac{A}{\left(\frac{B}{C} \right)} =A\times \frac{C}{B}
    • u0+u1+…+un=9×87u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =9\times \frac{8}{7}
    Ainsi :
    u0+u1+…+un=727u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{72}{7}