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Calculer une droite d’ajustement par la méthode des moindres carrées : covariance de $x$ et $y$ et variance de $x$ - Exercice 1

20 min

Voici un tableau (série statistique) qui recense les gains, en milliers d'euros, d'une entreprise depuis sa création en

2007

Question 1

Représenter le nuage de points $\left(x_{i},y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans le repère donné ci-dessus.

Correction

Question 2

Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Placer le point $G$

Correction

Le point moyen

G\left(x_{G};y_{G}\right)

d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses

x_{i}

, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées

y_{i}

.
Ses coordonnées

\left(x_{G};y_{G}\right)

vérifient donc :

x_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}

y_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}

\red{\text{Le point moyen G}}

peut aussi être noté

G\left(\overline{x};\overline{y}\right)

Les coordonnées du point moyen

G

de cette série statistique sont :

x_{G} =\frac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{11}

x_{G} =5

y_{G} =\frac{9+11+13+16+20+21+29+35+41+49+57}{11}

y_{G} =\frac{301}{11} \approx 27,36

Les coordonnées du point moyen

G

sont :

G\left(5;27,36\right)

Nous allons donc maintenant placer le point moyen

G

dans le repère :

Question 3

Calculer la covariance de $x$ et $y$ puis la variance de $x$ .

Correction

Une équation de la droite

\left(d\right)

d'ajustement de

y

x

par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est

y=4,75x+3,6

(coefficients arrondis au centième)

Question 4

Tracer la droite $\left(d\right)$ dans le repère .

Correction

La droite

\left(d\right)

doit passer obligatoirement par le point moyen

G

.
Il nous faut donc un deuxième point pour tracer la droite. Pour cela, on choisit une valeur de

x

quelconque, par exemple

x=2

. Il vient alors que

y=4,75\times 2+3,6=13,1

La droite

\left(d\right)

passe donc par le point moyen

G\left(5;27,36\right)

et également par le point

\left(2;13,1\right)

.
Il en résulte donc que :

Calculer une droite d’ajustement par la méthode des moindres carrées : covariance de xxx et yyy et variance de xxx - Exercice 1

Représenter le nuage de points (xi,yi)\left(x_{i},y_{i}\right)(xi​,yi​) associé à la série statistique dans le repère donné ci-dessus.

Déterminer les coordonnées du point moyen GGG de ce nuage. Placer le point GGG

Calculer la covariance de xxx et yyy puis la variance de xxx .

Tracer la droite (d)\left(d\right)(d) dans le repère .

Calculer une droite d’ajustement par la méthode des moindres carrées : covariance de $x$ et $y$ et variance de $x$ - Exercice 1

Représenter le nuage de points $\left(x_{i},y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans le repère donné ci-dessus.

Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Placer le point $G$

Calculer la covariance de $x$ et $y$ puis la variance de $x$ .

Tracer la droite $\left(d\right)$ dans le repère .