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Déterminer les primitives des fonctions usuelles - Exercice 2

10 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

b(x)=5x2+3x−14b\left(x\right)=\frac{5x^{2} +3x-1}{4}

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • On va commencer par écrire la fonction plus simplement :
    b(x)=5x2+3x−14⇔b(x)=54x2+34x−14b\left(x\right)=\frac{5x^{2}+3x -1}{4} \Leftrightarrow b\left(x\right)=\frac{5}{4} x^{2} +\frac{3}{4} x -\frac{1}{4}
    Maintenant on va calculer les primitives de bb.
    B(x)=54×12+1x2+1+34×11+1x1+1−14x+kB\left(x\right)=\frac{5}{4}\times \frac{1}{2+1}x^{2+1} +\frac{3}{4}\times \frac{1}{1+1} x^{1+1} -\frac{1}{4} x+k
    B(x)=512x3+38x2−14x+kB\left(x\right)=\frac{5}{12} x^{3} +\frac{3}{8} x^{2} -\frac{1}{4} x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    c(x)=3x2−5xc\left(x\right)=\frac{3}{x^{2} } -5x

    Correction
  • Soit n{\color{red}{n}} un entier naturel supérieur ou égale à 22, une primitive de nombrexn\frac{\text{nombre}}{x^{{\color{red}{n}}} } est −nombre(n−1)xn−1\frac{-\text{nombre}}{\left({\color{red}{n}}-1\right)x^{{\color{red}{n}}-1} }
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
    • Soit c(x)=3x2−5xc\left(x\right)=\frac{3}{x^{{\color{red}{2}}} } -5x , on a alors :
    C(x)=−3(2−1)x2−1−5×12x2+kC\left(x\right)=\frac{-3}{\left({\color{red}{2}}-1\right)x^{{\color{red}{2}}-1} }-5\times\frac{1}{2}x^2 +k
    C(x)=−31x1−52x2+kC\left(x\right)=\frac{-3}{1x^{1} } -\frac{5}{{2} }x^2 +k
    C(x)=−3x−52x2+kC\left(x\right)=\frac{-3}{x } -\frac{5}{{2} } x^2+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    d(x)=4x3+6x4d\left(x\right)=\frac{4}{x^{3} } +\frac{6}{x^{4} }

    Correction
  • Soit n{\color{red}{n}} un entier naturel supérieur ou égale à 22, une primitive de nombrexn\frac{\text{nombre}}{x^{{\color{red}{n}}} } est −nombre(n−1)xn−1\frac{-\text{nombre}}{\left({\color{red}{n}}-1\right)x^{{\color{red}{n}}-1} }
    • Soit d(x)=4x3+6x4d\left(x\right)=\frac{4}{x^{{\color{red}{3}}} } +\frac{6}{x^{{\color{blue}{4}}} } , on a alors :
    D(x)=−4(3−1)x3−1+−6(4−1)x4−1+kD\left(x\right)=\frac{-4}{\left({\color{red}{3}}-1\right)x^{{\color{red}{3}}-1} }+ \frac{-6}{\left({\color{blue}{4}}-1\right)x^{{\color{blue}{4}}-1} } +k
    D(x)=−42x2−63x3+kD\left(x\right)=\frac{-4}{2x^{2} } -\frac{6}{3x^{3} } +k
    D(x)=−2x2−2x3+kD\left(x\right)=\frac{-2}{x^{2} } -\frac{2}{x^{3} } +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    e(x)=5x2−7x3+2x4−9x5+3x6e\left(x\right)=\frac{5}{x^{2} } -\frac{7}{x^{3} } +\frac{2}{x^{4} } -\frac{9}{x^{5} } +\frac{3}{x^{6} }

    Correction
  • Soit n{\color{red}{n}} un entier naturel supérieur ou égale à 22, une primitive de nombrexn\frac{\text{nombre}}{x^{{\color{red}{n}}} } est −nombre(n−1)xn−1\frac{-\text{nombre}}{\left({\color{red}{n}}-1\right)x^{{\color{red}{n}}-1} }
    • Soit e(x)=5x2−7x3+2x4−9x5+3x6e\left(x\right)=\frac{5}{x^{{\color{red}{2}}} } -\frac{7}{x^{{\color{blue}{3}}} } +\frac{2}{x^{{\color{red}{4}}} } -\frac{9}{x^{{\color{blue}{5}}} }+\frac{3}{x^{{\color{red}{6}}} } , on a alors :
    E(x)=−5(2−1)x2−1−−7(3−1)x3−1+−2(4−1)x4−1−−9(5−1)x5−1+−3(6−1)x6−1+kE\left(x\right)=\frac{-5}{\left({\color{red}{2}}-1\right)x^{{\color{red}{2}}-1} }- \frac{-7}{\left({\color{blue}{3}}-1\right)x^{{\color{blue}{3}}-1} } +\frac{-2}{\left({\color{red}{4}}-1\right)x^{{\color{red}{4}}-1} }- \frac{-9}{\left({\color{blue}{5}}-1\right)x^{{\color{blue}{5}}-1} }+\frac{-3}{\left({\color{red}{6}}-1\right)x^{{\color{red}{6}}-1} }+k
    E(x)=−51x1+72x2−23x3+94x4−35x5+kE\left(x\right)=-\frac{5}{1x^{1} } +\frac{7}{2x^{2} }-\frac{2}{3x^{3} } +\frac{9}{4x^{4} }-\frac{3}{5x^{5} } +k
    E(x)=−5x+72x2−23x3+94x4−35x5+kE\left(x\right)=-\frac{5}{x } +\frac{7}{2x^{2} }-\frac{2}{3x^{3} } +\frac{9}{4x^{4} }-\frac{3}{5x^{5} } +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    e(x)=2x+3x2e\left(x\right)=\frac{2}{x } +3x^{2}

    Correction
  • Une primitive de 1x\frac{1}{x} est ln(x). ln(x).
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Soit e(x)=2x+3x2e\left(x\right)=\frac{2}{x}+3x^2 , on a alors :
    e(x)=2×1x+3x2e(x)=2\times{\color{red}\frac{1}{x}}+3{\color{blue}x^{2}}
    E(x)=2×ln(x)+3×12+1x2+1+kE\left(x\right)=2\times{ln(x)}+3\times\frac{1}{2+1}x^{2+1} +k
    E(x)=2  ln(x)+33x3+kE\left(x\right)=2\;ln{(x)}+\frac{3}{3 }x^3 +k
    E(x)=2  ln(x)+x3+kE\left(x\right)=2\;ln{(x)}+x^3 +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 6

    e(x)=3x−6xe\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x }}-\frac{6}{x }

    Correction
  • Une primitive de 1x\frac{1}{x} est ln(x). ln(x).
  • Une primitive de 1x\frac{1}{\sqrt{x}} est 2  x2\;\sqrt{x}
    • Soit e(x)=3x−6xe\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x }}-\frac{6}{x } , on a alors :
    e(x)=3×1x−6×1xe(x)=3\times{\color{red}\frac{1}{\sqrt{x}}}-6\times{\color{blue}\frac{1}{x}}
    E(x)=3×2x−6×ln(x)+kE\left(x\right)=3\times{2\sqrt{x}}-6\times{ln(x)} +k
    E(x)=6×x−6  ln(x)+kE\left(x\right)=6\times{\sqrt{x}}-6\;ln{(x)} +k
    E(x)=6x−6  ln(x)+kE\left(x\right)=6{\sqrt{x}}-6\;ln{(x)} +k
    où kk est une constante réelle.