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Déterminer les primitives des fonctions de la forme : x↦u′(x)u(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}} - Exercice 1

3 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ et définie par f(x)=22x+6f\left(x\right)=\frac{2}{2x+6}

Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]−3;+∞[x\in \left]-3;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=2x+6{\color{red}{u\left(x\right)=2x+6}}.
    De plus, u′(x)=2{\color{blue}{u'\left(x\right)=2}} .
    f(x)=22x+6f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x+6}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ est :
    F(x)=ln⁡(u(x))F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(2x+6)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{2x+6}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur ]−∞;35[\left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[ de la fonction ff continue sur ]−∞;35[\left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[ et définie par f(x)=−53−5xf\left(x\right)=\frac{-5}{3-5x}

    Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈]−∞;35[x\in \left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=3−5x{\color{red}{u\left(x\right)=3-5x}}.
    De plus, u′(x)=−5{\color{blue}{u'\left(x\right)=-5}} .
    f(x)=−53−5xf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-5}}}{{\color{red}{3-5x}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(u)\ln\left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−∞;35[\left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[ est :
    F(x)=ln⁡(u(x))F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(3−5x)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{3-5x}}\right)