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Ce qu'il faut savoir sur les équations différentielles $y'=ay$

Les équations différentielles

Définition 1

Une $\red{\text{équation différentielle}}$ est une équation où l'inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

Définition 2

a

y'=ay

a

a\ne 0

y

x

\mathbb{R}

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : $f\left(x\right)=ke^{ax}$ où $k$ est une constante réelle.

\pink{\text{Exemple :}}

Résoudre l'équation différentielle suivante :

y'=2y

On identifie ici que :

a=2

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{2x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{2x}

où

k

est une constante réelle.

Définition 3

a

y'=ay

a

a\ne 0

y

x

\mathbb{R}

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : $f\left(x\right)=ke^{ax}$ où $k$ est une constante réelle.
Quels que soient les réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , l'équation $y'=ay$ admet une unique solution $f$ prenant en $x_{0}$ la valeur $y_{0}$ telle que $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$ .

\pink{\text{Exemple :}}

Résoudre l'équation différentielle suivante :

y'=4y

tel que

f\left(0\right)=2

.
On identifie ici que :

a=4

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{4x}

où

k

est une constante réelle.
Or :

f\left(0\right)=2

ce qui nous permet d'écrire que :

ke^{4\times 0}=2

équivaut successivement à :

ke^{0}=2

. Nous savons que

e^{0}=1

k=2

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'=4y

tel que

f\left(0\right)=2

est alors :

f\left(x\right)=2e^{4x}