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Utiliser le non vieillissement ou l'absence de mémoire de la loi géométrique - Exercice 1

5 min
20
Nous disposons d'un jeu de 5252 cartes. Le jeu consiste à tirer une carte avec remise jusqu'à tirer un PIQUE.
Question 1

Montrer que l'on peut modéliser cette situation par une variable aléatoire XX qui suit une loi géométrique. On rappelle que dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 PIQUE .\red{\text{ On rappelle que dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 PIQUE .}}

Correction
Reˊdaction type :\purple{\text{Rédaction type :}}
La variable aléatoire XX compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un succès (tirer un PIQUE)\red{\text{(tirer un PIQUE)}} lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est p=1352=14p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} .
XX suit alors la loi géométrique de paramètre p=14p=\frac{1}{4} .
On écrit également que XX est la variable aléatoire suivant G(14)\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right)
Question 2

Adam a déjà tiré 66 fois sans obtenir de PIQUE. Quelle est la probabilité qu'il tire un PIQUE au moins au 1010ème tirage?

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tous entiers naturels s\color{blue}{s} non nul et t\color{red}{t} non nul, on a : PX>s(X>s+t)=P(X>t)P_{X>\color{blue}{s}} \left(X>\color{blue}{s}+\color{red}{t}\right)=P\left(X>\color{red}{t}\right)
    • Il nous faut donc calculer : PX>6(X>9)P_{X>6} \left(X>9\right)
    D'après le rappel :
    PX>6(X>9)=PX>6(X>6+3)=P(X>3)P_{X>6} \left(X>9\right)=P_{X>\color{blue}{6}} \left(X>\color{blue}{6}+\color{red}{3}\right)=P\left(X>\color{red}{3}\right)
    Ainsi :
    PX>6(X>9)=P(X>3)P_{X>6} \left(X>9\right)=P\left(X>3\right)
      Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tout entier naturel kk non nul, on a : P(X>k)=(1−p)k{\color{blue}{P\left(X>k\right)=\left(1-p\right)^{k}}}
    • P(X>3)=(1−14)3P\left(X>3\right)=\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}
    P(X>3)≈0,422P\left(X>3\right)\approx 0,422
    Ainsi :
    PX>6(X>9)≈0,422P_{X>6} \left(X>9\right)\approx 0,422
    arrondi à 10−310^{-3} près .
    Adam ayant déjà tiré 66 fois sans obtenir de PIQUE, la probabilité qu'il tire un PIQUE au moins au 1010ème tirage est environ 0,4220,422 .