Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 1

$$\purple{\text{Rédaction type :}}$$
La variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de répétitions nécessaires pour obtenir un succès $$\red{\text{(tirer une boule noire)}}$$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $$p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$ .
$$X$$ suit alors la loi géométrique de paramètre $$p=\frac{1}{5}$$ .
On écrit également que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right)$$

Il nous faut donc calculer :
$$P\left(X=6\right)=\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)^{6-1}$$
$$P\left(X=6\right)=\frac{1024}{15\;625}$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors du $$6$$^ème tirage est environ $$0,066$$ .

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
D'où :
$$\blue{\text{En moyenne}}$$ sur un grand nombre de tirages, il faudra $$5$$ tirages pour tirer une boule noire.