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Calculer avec une loi uniforme discrète - Exercice 1

1 min
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Une variable aléatoire XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\}
Question 1
Déterminer les probabilités suivantes :

P(X=2)P\left(X=2\right)

Correction
    Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}6}\right\} ainsi :
    P(X=2)=16P\left(X=2\right)=\frac{1}{{\color{blue}6}}
    Question 2

    P(X≥4)P\left(X\ge 4\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\} ainsi :
    P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)P\left(X\ge 4\right)=P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)
    P(X≥4)=3×16P\left(X\ge 4\right)=3\times \frac{1}{6}
    D'où :
    P(X≥4)=12P\left(X\ge 4\right)=\frac{1}{2}
    Question 3

    P(X≤2)P\left(X\le 2\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\} ainsi :
    P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)P\left(X\le 2\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)
    P(X≤2)=2×16P\left(X\le 2\right)=2\times \frac{1}{6}
    D'où :
    P(X≤2)=13P\left(X\le 2\right)=\frac{1}{3}
    Question 4

    P(1≤X≤5)P\left(1\le X\le 5\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\} ainsi :
    P(1≤X≤5)=P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)P\left(1\le X\le 5\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+\ldots +P\left(X=5\right)
    P(1≤X≤5)=5×16P\left(1\le X\le 5\right)=5\times \frac{1}{6}
    D'où :
    P(1≤X≤5)=56P\left(1\le X\le 5\right)=\frac{5}{6}
    Question 5

    Calculer l'espérance de XX et en donner une interprétation .

    Correction
      L’espeˊrance matheˊmatique de loi uniforme discreˋte\red{\text{L'espérance mathématique de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • L'espérance mathématique de XX est égale à : E(X)=n+12E\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{n}}+1}{2} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{6}}\right\}, il vient alors que :
    E(X)=6+12E\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{6}}+1}{2}
    D'où :
    E(X)=72E\left(X\right)=\frac{7}{2}

    Si l'on répète à l'identique cette expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues sera proche de l'espérance 72\frac{7}{2} .
    Question 6

    Calculer la variance de XX et l'écart-type de XX .

    Correction
      La variance de loi uniforme discreˋte\red{\text{La variance de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • La variance de XX est égale à : V(X)=n2−112V\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{n}}^{2}-1}{12} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{6}}\right\}, il vient alors que :
    V(X)=62−112V\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{6}}^{2}-1}{12}
    Ainsi :
    V(X)=3512V\left(X\right)=\frac{35}{12}

      L’eˊcart-type de loi uniforme discreˋte\red{\text{L'écart-type de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • La variance de XX est égale à : σ(X)=n2−112\sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{{\color{blue}{n}}^{2}-1}{12} } que l'on écrit σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right) }
    • Il en résulte donc que :
    σ(X)=3512\sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{35}{12} }