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Exercices types : La loi exponentielle (Niveau difficile) - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit XX une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ\lambda . On donne : P(3≤X≤6)=14P\left(3\le X\le 6\right)=\frac{1}{4}

Calculer la valeur exacte de λ\lambda .

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
P(3≤X≤6)=14P\left(3\le X\le 6\right)=\frac{1}{4} équivaut successivement à :
e−3λ−e−6λ=14e^{-3\lambda } -e^{-6\lambda } =\frac{1}{4}
e−3λ−e−6λ−14=0e^{-3\lambda } -e^{-6\lambda } -\frac{1}{4} =0 . Nous allons maintenant multiplier les deux membres par −1-1 . D'où :
−e−3λ+e−6λ+14=0-e^{-3\lambda } +e^{-6\lambda } +\frac{1}{4} =0
e−6λ−e−3λ+14=0e^{-6\lambda } -e^{-3\lambda } +\frac{1}{4} =0
(e−3λ)2−e−3λ+14=0\left(e^{-3\lambda } \right)^{2} -e^{-3\lambda } +\frac{1}{4} =0 car (e−3λ)2=e−6λ\left(e^{-3\lambda } \right)^{2}=e^{-6\lambda }
On va effectuer un changement de variable. On pose X=e−3λX=e^{-3\lambda }
Il en résulte que {X2−X+14=0X=e−3λ\left\{\begin{array}{c} {X^{2} -X +\frac{1}{4}=0} \\ {X=e^{-3\lambda } } \end{array}\right. .
On utilise le discriminant
Δ=0\Delta =0
.
Il existe donc une racine double X0X_{0} telle que :
X0=−(−1)2×1X_{0} =\frac{-\left(-1\right) }{2\times1} d'où X0=12X_{0} =\frac{1 }{2}
Or nous avons posé X=e−3λX=e^{-3\lambda } , il en résulte que
e−3λ=12e^{-3\lambda } =\frac{1 }{2}
ln⁡(e−3λ)=ln⁡(12)\ln \left(e^{-3\lambda } \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
−3λ=ln⁡(12)-3\lambda =\ln \left(\frac{1}{2} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
−3λ=−ln⁡(2)-3\lambda =-\ln \left(2\right)
λ=−ln⁡(2)−3\lambda =\frac{-\ln \left(2\right)}{-3}
Finalement :
λ=ln⁡(2)3\lambda =\frac{\ln \left(2\right)}{3}