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Option mathématiques complémentaires
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Lois de probabilités à densité
Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
- Exercice 1
5 min
10
Question 1
Soit
X
X
X
une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
. Calculer les probabilités suivantes :
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
P\left(0,2\le X\le 0,5\right)
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
alors :
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
=
0
,
5
−
0
,
2
P\left({\color{blue}{0,2}}\le X\le {\color{red}{0,5}}\right)={\color{red}{0,5}}-{\color{blue}{0,2}}
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
=
0
,
5
−
0
,
2
Ainsi :
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
=
0
,
3
P\left(0,2\le X\le 0,5\right)=0,3
P
(
0
,
2
≤
X
≤
0
,
5
)
=
0
,
3
Question 2
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
P\left(0,43\le X\le 0,78\right)
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
alors :
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
=
0
,
78
−
0
,
43
P\left({\color{blue}{0,43}}\le X\le {\color{red}{0,78}}\right)={\color{red}{0,78}}-{\color{blue}{0,43}}
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
=
0
,
78
−
0
,
43
Ainsi :
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
=
0
,
35
P\left(0,43\le X\le 0,78\right)=0,35
P
(
0
,
43
≤
X
≤
0
,
78
)
=
0
,
35
Question 3
P
(
X
≤
0
,
27
)
P\left( X\le 0,27\right)
P
(
X
≤
0
,
27
)
Correction
On a
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
P
(
0
≤
X
≤
0
,
27
)
P\left( X\le 0,27\right)=P\left(0\le X\le 0,27\right)
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
P
(
0
≤
X
≤
0
,
27
)
car
f
f
f
définie une loi à densité sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
alors :
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
P
(
0
≤
X
≤
0
,
27
)
=
0
,
27
−
0
P\left( X\le 0,27\right)=P\left({\color{blue}{0}}\le X\le {\color{red}{0,27}}\right)={\color{red}{0,27}}-{\color{blue}{0}}
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
P
(
0
≤
X
≤
0
,
27
)
=
0
,
27
−
0
Ainsi :
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
0
,
27
P\left( X\le 0,27\right)=0,27
P
(
X
≤
0
,
27
)
=
0
,
27
Question 4
P
(
X
≥
0
,
91
)
P\left( X\ge 0,91\right)
P
(
X
≥
0
,
91
)
Correction
On a
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
P
(
0
,
91
≤
X
≤
1
)
P\left( X\ge 0,91\right)=P\left(0,91\le X\le 1\right)
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
P
(
0
,
91
≤
X
≤
1
)
car
f
f
f
définie une loi à densité sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
Soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
alors :
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P
(
c
≤
X
≤
d
)
=
d
−
c
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
P
(
0
,
91
≤
X
≤
1
)
=
1
−
0
,
91
P\left( X\ge 0,91\right)=P\left({\color{blue}{0,91}}\le X\le {\color{red}{1}}\right)={\color{red}{1}}-{\color{blue}{0,91}}
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
P
(
0
,
91
≤
X
≤
1
)
=
1
−
0
,
91
Ainsi :
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
0
,
09
P\left( X\ge 0,91\right)=0,09
P
(
X
≥
0
,
91
)
=
0
,
09