Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 6

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left[-6;1\right]$$ , la fonction $$f$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et admet $$5$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[7;10\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$-1$$ comme maximum.
  La fonction $$f$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;7\right]$$ , la fonction $$f$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et $$\blue{\text{strictement décroissante .}}$$
  De plus, $$f\left(1\right)=8$$ et $$f\left(7\right)=-2$$ .
  Or $$0 \in \left[-2;8\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[1;7\right]$$ tel que $$f(x) = 0$$
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution sur $$\left[-6;10\right]$$.