Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 3

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left]-\infty ;1\right[$$ , la fonction $$f$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et admet $$3$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;+\infty\right[$$ , la fonction $$f$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et $$\blue{\text{strictement décroissante .}}$$
  De plus, $$f\left(1\right)=5$$ et $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = -\infty$$
  Or $$0 \in \left]-\infty;5\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[1;+\infty\right[$$ tel que $$f(x) = 0$$.
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.