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Lire des limites dans un tableau de variation - Exercice 4

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Question 1
Soit le tableau de variation de la fonction ff ci-dessous :

Quelle est l'ensemble de définition de DfD_{f} de la fonction ff.

Correction
On observe qu'il y aune valeur interdite lorsque x=−6x=-6 modélisée par la double barre dans le tableau.
Le domaine de définition est alors : Df=]−∞;−6[∪]−6;+∞[D_{f} =\left]-\infty ;-6\right[\cup \left]-6;+\infty \right[
Question 2

Quelles sont les limites de ff aux bornes de DfD_{f}. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Il faut, dans notre cas, lire à l'aide du tableau 44 limites qui sont :
lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) ; lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) ; lim⁡x→−6−f(x)\lim\limits_{x\to -6^{-} } f\left(x\right) et lim⁡x→−6+f(x)\lim\limits_{x\to -6^{+} } f\left(x\right)
Ainsi :
lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=-\infty
lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
lim⁡x→−6−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to -6^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=−6x=-6
lim⁡x→−6+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to -6^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=−6x=-6