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Limites et continuité
Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 2
10 min
20
Déterminez les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
(
e
x
−
2
)
(
3
−
e
x
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(e^{x} -2\right)\left(3-e^{x} \right)
x
→
+
∞
lim
(
e
x
−
2
)
(
3
−
e
x
)
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
+
∞
e
x
−
2
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
3
−
e
x
=
−
∞
}
par produit
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-e^{x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
x
→
+
∞
lim
e
x
−
2
x
→
+
∞
lim
3
−
e
x
=
=
+
∞
−
∞
}
par produit
lim
x
→
+
∞
(
e
x
−
2
)
(
3
−
e
x
)
=
−
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(e^{x} -2\right)\left(3-e^{x} \right)=-\infty
x
→
+
∞
lim
(
e
x
−
2
)
(
3
−
e
x
)
=
−
∞
Question 2
lim
x
→
−
∞
(
2
x
+
4
)
(
e
x
−
1
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(2x+4\right)\left(e^{x} -1\right)
x
→
−
∞
lim
(
2
x
+
4
)
(
e
x
−
1
)
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
−
∞
2
x
+
4
=
−
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
−
1
=
−
1
}
par produit
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}-1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
x
→
−
∞
lim
2
x
+
4
x
→
−
∞
lim
e
x
−
1
=
=
−
∞
−
1
}
par produit
lim
x
→
−
∞
(
2
x
+
4
)
(
e
x
−
1
)
=
+
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(2x+4\right)\left(e^{x} -1\right)=+\infty
x
→
−
∞
lim
(
2
x
+
4
)
(
e
x
−
1
)
=
+
∞
Question 3
lim
x
→
−
∞
4
x
−
9
e
x
+
7
{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{4x-9}{e^{x} +7}
x
→
−
∞
lim
e
x
+
7
4
x
−
9
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
−
∞
4
x
−
9
=
−
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
+
7
=
7
}
par quotient
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x-9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+7} & {=} & {7 } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}
x
→
−
∞
lim
4
x
−
9
x
→
−
∞
lim
e
x
+
7
=
=
−
∞
7
}
par quotient
lim
x
→
−
∞
4
x
−
9
e
x
+
7
=
−
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{4x-9}{e^{x} +7}=-\infty
x
→
−
∞
lim
e
x
+
7
4
x
−
9
=
−
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
e
x
(
1
x
−
1
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} \left(\frac{1}{x} -1\right)
x
→
+
∞
lim
e
x
(
x
1
−
1
)
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
1
x
−
1
=
−
1
}
par produit
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x} -1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
x
→
+
∞
lim
e
x
x
→
+
∞
lim
x
1
−
1
=
=
+
∞
−
1
}
par produit
lim
x
→
+
∞
e
x
(
1
x
−
1
)
=
−
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} \left(\frac{1}{x} -1\right)=-\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
(
x
1
−
1
)
=
−
∞