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Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 3

3 min
15
Calculer la limite suivante :
Question 1

lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2}

Correction
lim⁡x→+∞5x2+6x−1=+∞lim⁡x→+∞4x2−5x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +6x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^{2}}
Il vient :
lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2=lim⁡x→+∞x2(5x2+6x−1x2)x2(4x2−5x+2x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{5x^{2} +6x-1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} -5x+2}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2=lim⁡x→+∞x2(5x2x2+6xx2−1x2)x2(4x2x2−5xx2+2x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{5x^{2} }{x^{2} } +\frac{6x}{x^{2} } -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } -\frac{5x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2=lim⁡x→+∞x2(5+6x−1x2)x2(4−5x+2x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)} . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x2x^{2} .
lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2=lim⁡x→+∞5+6x−1x24−5x+2x2{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } }{4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } }
Ainsi : lim⁡x→+∞5+6x−1x2=5lim⁡x→+∞4−5x+2x2=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} }} & {=} & {4} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡x→+∞5+6x−1x24−5x+2x2=54\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } }{4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } } =\frac{5}{4}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞5x2+6x−14x2−5x+2=54{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} =\frac{5}{4}

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