Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +6x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{5x^{2} +6x-1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} -5x+2}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{5x^{2} }{x^{2} } +\frac{6x}{x^{2} } -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } -\frac{5x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5x^{2} +6x-1}{4x^{2} -5x+2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } }{4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} }} & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5+\frac{6}{x} -\frac{1}{x^{2} } }{4-\frac{5}{x} +\frac{2}{x^{2} } } =\frac{5}{4}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$