Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{3x+5}{x} \right)}{x\left(\frac{2x+1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{5}{x} \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3+\frac{5}{x} \right)}{x\left(2+\frac{1}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x} }{2+\frac{1}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{5}{x}} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\frac{1}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x} }{2+\frac{1}{x} } =\frac{3}{2}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x-1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x}{x} -\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(2-\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(1+\frac{1}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\frac{1}{x} }{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\frac{1}{x} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\frac{1}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\frac{1}{x} }{x\left(1+\frac{1}{x} \right)} =0$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{2}-x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{3x^{2}-x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{x+1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{3x^{2} }{x^{2} } -\frac{x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(3-\frac{1}{x} \right)}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(3 -\frac{1}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} } =-\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(1+\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{3}{x^{2}}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } =1$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{3}+5x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{3}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{4}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{3x^{3} +5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} +2x^{3} +1}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{3x^{3} }{x^{3} } +\frac{5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} }{x^{4} } +\frac{2x^{3} }{x^{4} } +\frac{1}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(3+\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{3}$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{5}{x^{2} }} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)}=0$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$