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Le théorème des gendarmes - Exercice 2

5 min
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Question 1

Pour tout réel xx , on définit la fonction ff à l'aide de l'encadrement suivant : 2x2+3≤f(x)≤1x2+3\frac{2}{x^2+3} \le f\left(x\right) \le \frac{1}{x^2+3} . Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) .

Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
    lim⁡x→−∞2=2lim⁡x→−∞x2+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^2+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
    lim⁡x→−∞2x2+3=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2}{x^2+3}=0

    Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
    lim⁡x→−∞1=1lim⁡x→−∞x2+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^2+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
    lim⁡x→−∞1x2+3=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{1}{x^2+3}=0

    Nous savons que : 2x2+3≤f(x)≤1x2+3\frac{2}{x^2+3} \le f\left(x\right) \le \frac{1}{x^2+3}
    D'après le théorème des gendarmes
    lim⁡x→−∞f(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0