Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 5

D'une part : $$\lim _{x \rightarrow -\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}$$ . Au voisinage de $$-\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
D'autre part : $$\lim _{x \rightarrow +\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}$$ . Au voisinage de $$+\infty$$, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Il vient alors que :
Nous allons maintenant développer l'expression $$12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)$$.
$$12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12\left(x^{3} -x-2x^{2} +2\right)$$ équivaut successivement à :
$$12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -12x-24x^{2} +24$$
$$12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -24x^{2} -12x+24$$

D'après la question $$2$$, nous savons que : $$f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)$$
Or : $$x^{2}-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$.
Nous allons donner ci-dessous le tableau de variation complet de $$f$$ ainsi que le détail des extrema.

$$f\left(-1\right)=3\times\left(-1\right)^{4}-8\times\left(-1\right)^{3}-6\times\left(-1\right)^{2}+24\times\left(-1\right)$$ ainsi :

$$f\left(-1\right)=-19$$

$$f\left(1\right)=3\times1^{4}-8\times1^{3}-6\times1^{2}+24\times1$$ ainsi :

$$f\left(1\right)=13$$

$$f\left(2\right)=3\times2^{4}-8\times2^{3}-6\times2^{2}+24\times2$$ ainsi :

$$f\left(2\right)=8$$

Nous allons faire apparaitre les zéros recherché dans le tableau de variation. Il vient alors que :

De plus :

• Sur $$\left[1;+\infty\right[$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$8$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f\left(x\right) = 0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left]-\infty;-1\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$\lim _{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = +\infty$$ et $$f\left(-1\right)=-19$$
  Or $$0 \in \left[-19;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ sur $$\left]-\infty;-1\right]$$ tel que $$f\left(x\right) = 0$$
• Sur $$\left[-1;1\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f\left(-1\right)=-19$$ et $$f\left(1\right)=13$$
  Or $$0 \in \left[-19;13\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\beta$$ sur $$\left[-1;1\right]$$ tel que $$f\left(x\right) = 0$$

Finalement l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet deux solutions $$\alpha$$ et $$\beta$$.