Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Etudier les variations avec la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 1

6 min
15
Question 1
On considère la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2ln⁡(x)−4x+3f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-4x+3

Montrer que, pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=2−4xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f′(x)=2×1x−4f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} -4
    f′(x)=2x−4f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -4 . On va mettre tout au même dénominateur .
    f′(x)=2x−4xxf'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{4x}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=2−4xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}

    Question 2

    En déduire les variations de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

    Correction
    Nous savons que f′(x)=2−4xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x} et nous travaillons sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ .
    Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de f′f' dépend du numérateur 2−4x2-4x
    Résolvons :
    2−4x≥02-4x\ge 0
    −4x≥−2-4x\ge -2
    x≤−2−4x\le \frac{-2}{-4}
    x≤12x\le \frac{1}{2}
    Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de 2−4x2-4x dès que x≤12x\le \frac{1}{2}
    On en déduit le tableau de variation suivant :