Déterminer le domaine de définition - Exercice 1

La fonction $$f$$ est $$\red{\text{définie}}$$ si et seulement si :
$$3x-6>0$$ équivaut successivement à :
$$3x>6$$
$$x>\frac{6}{3}$$
$$x>2$$
Ainsi le domaine de définition est :

La fonction $$f$$ est $$\red{\text{définie}}$$ si et seulement si :
$$-2x+10>0$$ équivaut successivement à :
$$-2x>-10$$
$$x<\frac{-10}{-2}$$ $$\;\;\;$$Ici on oublie pas $$\color{red}de\;changer\;le\;signe\;de\;l'inéquation$$, car on divise de part et d'autre par un nombre négatif.
$$x<5$$
Ainsi le domaine de définition est :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {x+1>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x+1>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {-x>-1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x<\frac{-1}{-1}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x<1} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :

La fonction $$f$$ est $$\red{\text{définie}}$$ si et seulement si :
$$x-7>0$$ équivaut successivement à :
$$x>7$$
Ainsi le domaine de définition est :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {3-x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x>-3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x<\frac{-3}{-1}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x<3} \end{array}\right.$$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :

La fonction $$f$$ est $$\red{\text{définie}}$$ si et seulement si : $$x^{2}-9>0$$
Nous allons utiliser le discriminant.
$$\Delta =b^{2} -4ac$$ ainsi $$\Delta =36>0$$
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-0-\sqrt{36} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{1} =-3$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-0+\sqrt{36} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{2} =3$$
Dans notre situation, $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :
Finalement, $$f$$ est définie si et seulement si