Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de
f.
f est deux fois dérivable sur
]−∞;+∞[ .
Il vient que :
f′(x)=4x3 et
f′′(x)=12x2- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour tout réel
x∈]−∞;+∞[, on vérifie aisément que
2x2≥0 .
Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;+∞[ alors f′′(x)≥0 et donc f est convexe sur cet intervalle.
Ainsi :
- f possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Dans cette situation,
f′′ s'annule mais ne change pas de signe en
0.
Il en résulte donc qu'au point d'absicce
0 la fonction
f n'admet pas de point d'inflexion.
La fonction
f n'admet donc pas de point d'inflexion sur
]−∞;+∞[ .