Théorème des gendarmes - Exercice 1

$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3 } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n}+4=4$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}+4=4$$
Nous savons que : $$\frac{3}{n} +4\le u_{n} \le \frac{2}{n} +4$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =4$$

$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Nous savons que : $$\frac{6}{n+3} \le u_{n} \le \frac{6}{n+2}$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0$$

$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n-2}{n} \right)}{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} -\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1-\frac{2}{n} \right)}{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1-\frac{2}{n} }{1+\frac{1}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{2}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Ainsi : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1}=1$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\dfrac{n+5}{n} \right)}{n\left(\dfrac{n+1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\dfrac{n}{n} +\dfrac{5}{n} \right)}{n\left(\dfrac{n}{n} +\dfrac{1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\dfrac{5}{n} \right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\dfrac{5}{n} }{1+\dfrac{1}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\dfrac{5}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\dfrac{1}{n}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Ainsi : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1}=1$$
Nous savons que : $$\frac{n-2}{n+1} \le u_{n} \le \frac{n+5}{n+1}$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1$$