Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, étudions le signe de : $$u_{n}-2$$
$$u_{n} -2=\frac{6n+2}{3n+5} -2$$ équivaut successivement à :
$$u_{n} -2=\frac{6n+2}{3n+5} -\frac{2\left(3n+5\right)}{3n+5}$$
$$u_{n} -2=\frac{6n+2-2\left(3n+5\right)}{3n+5}$$
$$u_{n} -2=\frac{6n+2-6n-10}{3n+5}$$
$$u_{n} -2=\frac{-8}{3n+5}$$
Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$3n+5>0$$ et $$-8<0$$
Il en résulte donc que : $$\frac{-8}{3n+5}<0$$
Ainsi : $$u_{n} -2<0$$ et donc .
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est bien majorée par $$2$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, nous savons que $$n \ge 0$$ .
Il en résulte donc que : $$6n+2>0$$ et $$3n+5>0$$ et de ce fait $$\frac{6n+2}{3n+5}>0$$
Autrement dit : $$u_n>0$$ .
D'après la question précédente, nous avons montré que : $$u_{n}<2$$
Finalement, pour tout entier naturel $$n$$, il vient que : $$0<u_{n}<2$$
La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est bien $$\blue{\text{bornée}}$$.