Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau difficile}}$$ - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$ , on a :
$$v_{n} =u_{n} -0,5n$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -0,5\times \left(n+1\right)$$
$$v_{n+1} =3u_{n} +0,5-n-0,5\times \left(n+1\right)$$
$$v_{n+1} =3u_{n} +0,5-n-0,5n-0,5$$
$$v_{n+1} =3{\color{blue}{u_{n}}} -1,5n$$
Or $$v_{n} =u_{n}-0,5n$$ donc $$v_{n} +0,5n={\color{blue}{u_{n}}}$$. Il vient alors que :
$$v_{n+1} =3\times {\color{blue}{\left(v_{n} +0,5n\right)}}-1,5n$$
$$v_{n+1} =3v_{n} +1,5n-1,5n$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=3$$ et de premier terme $$v_{0} = u_{0}-0,5\times 0$$ c'est à dire $$v_{0} =2$$.