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Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 1

20 min
40
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=n+12n+3u_{n} =\frac{n+1}{2n+3}

Correction
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞2n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞n(n+1n)n(2n+3n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\dfrac{n+1}{n} \right)}{n\left(\dfrac{2n+3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞n(nn+1n)n(2nn+3n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\dfrac{n}{n} +\dfrac{1}{n} \right)}{n\left(\dfrac{2n}{n} +\dfrac{3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞n(1+1n)n(2+3n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\dfrac{1}{n} \right)}{n\left(2+\dfrac{3}{n} \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞1+1n2+3n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\dfrac{1}{n} }{2+\dfrac{3}{n} }
lim⁡n→+∞1+1n=1lim⁡n→+∞2+3n=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\dfrac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\dfrac{3}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞1+1n2+3n=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\dfrac{1}{n} }{2+\dfrac{3}{n} } =\frac{1}{2}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n+12n+3=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\frac{1}{2}
Question 2

un=n2+1−2n−3u_{n} =\frac{n^{2} +1}{-2n-3}

Correction
lim⁡n→+∞n2+1=+∞lim⁡n→+∞−2n−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(n2+1n2)n(−2n−3n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} +1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n-3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(n2n2+1n2)n(−2nn−3n)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n}{n} -\frac{3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(1+1n2)n(−2−3n)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(-2-\frac{3}{n} \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n(1+1n2)−2−3n\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} }
lim⁡n→+∞n(1+1n2)=+∞lim⁡n→+∞−2−3n=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{3}{n} } & {=} & {-2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞n(1+1n2)−2−3n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} } =-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =-\infty
Question 3

un=n+1−2n3+2n−3u_{n} =\frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3}

Correction
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞−2n3+2n−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} +2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n3\blue{n^{3}}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(n+1n)n3(−2n3+2n−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} +2n-3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(nn+1n)n3(−2n3n3+2nn3−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(1+1n)n3(−2+2n2−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right) }{n^{3} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞1+1nn2(−2+2n2−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞1+1n=1lim⁡n→+∞n2(−2+2n2−3n3)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞1+1nn2(−2+2n2−3n3)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} =0
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 4

un=n2+3−n2+n+1u_{n} =\frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1}

Correction
lim⁡n→+∞n2+3=+∞lim⁡n→+∞−n2+n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} +n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2+3n2)n2(−n2+n+1n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}\left(\frac{n^{2}+3}{n^{2}} \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} +n+1}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2n2+3n2)n2(−n2n2+nn2+1n2)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(1+3n2)n2(−1+1n+1n2)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)} . On simplifie par n2n^{2} au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞1+3n2−1+1n+1n2\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2} } }{-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } }
lim⁡n→+∞1+3n2=1lim⁡n→+∞−1+1n+1n2=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^{2}} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} & {=} & {-1 } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞1+3n2−1+1n+1n2=−1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2}} }{-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} =-1
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=−1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1} = -1
Question 5

un=−2nn−3nn+4u_{n} =\frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4}

Correction
lim⁡n→+∞−2nn−3n=−∞lim⁡n→+∞n+4=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n\sqrt{n} -3n} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, on va factoriser le numeˊrateur par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, on va factoriser le numérateur par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2nn−3nn)n(n+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n+4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2nnn−3nn)n(nn+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} }{n} -\frac{3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2n−3)n(1+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-2\sqrt{n} -3\right)}{n\left(1+\frac{4}{n} \right)}. On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞−2n−31+4n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-3 }{1+\frac{4}{n} }
lim⁡n→+∞−2n−3=−∞lim⁡n→+∞1+4n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2\sqrt{n}-3 } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{4}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞−2n−31+4n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-3 }{1+\frac{4}{n} } =-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =-\infty