Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

D'après l'énoncé,
, c'est-à-dire $$1500$$ personnes dans l'entreprise en $$2013$$.
De plus, $$10\%$$ de l'effectif du 1^er janvier partira à la retraite au cours de l'année. Cela signifie que nous avons donc une baisse de $$10\%$$ ce qui traduit un coefficient multiplicateur $$1-\frac{10}{100}=0,9$$ . Enfin, il faut rajouter les $$100$$ embauches.
Il vient alors que :
$$u_{1} =u_{0} \times 0,9+100$$ ce qui donne $$u_{1} =1500\times 0,9+100$$ d'où
C'est-à-dire $$1450$$ personnes dans l'entreprise en $$2014$$.
$$u_{2} =u_{1} \times 0,9+100$$ ce qui donne $$u_{2} =1450\times 0,9+100$$ d'où
C'est-à-dire $$1405$$ personnes dans l'entreprise en $$2015$$.

$$v_{n} =u_{n} -1000$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -1000$$
$$v_{n+1} =0,9u_{n} +100-1000$$
$$v_{n+1} =0,9{\color{blue}{u_{n}}} -900$$.
Or $$v_{n} =u_{n} -1000$$ donc $${\color{blue}{v_{n} +1000=u_{n}}}$$
$$v_{n+1} =0,9\times {\color{blue}{(v_{n} +1000)}}-900$$
$$v_{n+1} =0,9v_{n} +900-900$$
$$v_{n+1} =0,9v_{n}$$
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,9$$ et de premier terme $$v_{0} =1500-1000=500$$ donc $$v_{0} =500$$

Ainsi : $$v_{n} =500\times 0,9^{n}$$
Or on sait que $$v_{n} =u_{n} -1000$$ donc $$v_{n} +1000=u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000$$

Comme $$-1< 0,9< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} +1000=1000$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1000$$

On sait que : $$u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000$$ donc $$u_{n+1} =500\times 0,9^{n+1} +1000$$
Il vient alors que :
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-\left(500\times 0,9^{n} +1000\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-500\times 0,9^{n} -1000$$
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} -500\times 0,9^{n}$$. On rappelle que $$0,9^{n+1} =0,9^{n} \times 0,9$$, ce qui donne :
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times 0,9-500\times 0,9^{n}$$. On factorise par $$500\times 0,9^{n}$$, on a :
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(0,9-1\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(-0,1\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}$$
Or $$-50<0$$ et $$0,9^{n} >0$$ donc $$-50\times 0,9^{n} <0$$.
Finalement : $$u_{n+1} -u_{n} <0$$
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc décroissante.