La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$

On sait que $\left(u_{n} \right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{4}{5}$ et de premier terme $u_{0} =-6$.
Pour avoir $n+1$ termes, il nous faut partir de $ u_{0}$ jusqu'à $ u_{n}$.
On applique la formule :
$S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} $ équivaut successivement à :
$S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$
$S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)$
$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{4}{5} } \right)$
$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{5}{5}-\frac{4}{5} } \right)$
$S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} }{\frac{1}{5} } \right)$
$S=-6\times \frac{5}{1} \times\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)$
Ainsi :

$S=-30\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)$

Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : $\text{grand indice} - \text{petit indice} +1$

La somme $S=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$ comprend $n+1$ termes. Ici le plus grand indice est $n$ , le plus petit indice est $0$. Ainsi le nombre de termes est égale à : $n-0+1=n+1$. Nous avons donc $n+1$ termes.

La somme $S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}$ comprend $n$ termes. Ici le plus grand indice est $n$ , le plus petit indice est $1$. Ainsi le nombre de termes est égale à : $n-1+1=n$. Nous avons donc $n$ termes.

La somme $S=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n}$ comprend $n-p+1$ termes. Ici le plus grand indice est $n$ , le plus petit indice est $p$. Ainsi le nombre de termes est égale à : $n-p+1=n$. Nous avons donc $n-p+1$ termes.

La somme $S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22}$ comprend $18$ termes. Ici le plus grand indice est $22$ , le plus petit indice est $5$. Ainsi le nombre de termes est égale à : $22-5+1=18$. Nous avons donc $18$ termes.

${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -30\left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)$

Si $-1
Si $ q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$.

Comme $-1<\frac{4}{5}<1$ alors :
$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} =0$
$\lim\limits_{n\to +\infty } -\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} =0$
$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} =1$
Il vient alors que :
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -30} & {=} & {-30} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$ $\text{\red{par produit :}}$

$\lim\limits_{n\to +\infty } -30 \left(1-\left(\frac{4}{5} \right)^{n+1} \right)=-30$

Ainsi :

$\lim\limits_{n\to +\infty } S =-30$