Epreuve d'enseignement de spécialité Session 15 Mars 2021 sujet 1 Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale - Exercice 1

$$P\left(D\cap A\right)=P\left(D\right)\times P_{D} \left(A\right)$$
$$P\left(D\cap A\right)=0,1\times 0,6$$
Ainsi :
La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école est de $$0,06$$.

Les évènements $$D$$ et $$\overline{D}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(A\right)=P\left(D\cap A\right)+P\left(\overline{D}\cap A\right)$$ équivaut successivement à
$$P\left(A\right)=P\left(D\right)\times P_{D} \left(A\right)+P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}} \left(A\right)$$
$$P\left(A\right)=0,1\times 0,6+0,9\times 0,2$$
$$P\left(A\right)=0,06+0,18$$
Ainsi :
La probabilité de l’évènement $$A$$ est égale à $$0,24$$

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ qu'un candidat est admis à l'école, quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné.
Ainsi :
$$P_{A} \left(\overline{D}\right)=\frac{P\left(\overline{D}\cap A\right)}{P\left(A\right)}$$
$$P_{A} \left(\overline{D}\right)=\frac{P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}} \left(A\right)}{P\left(A\right)}$$
$$P_{A} \left(\overline{D}\right)=\frac{0,9\times 0,2}{0,24}$$
$$P_{A} \left(\overline{D}\right)=\frac{0,18}{0,24}$$
Ainsi :

Il nous faut calculer $$P\left(X=1\right)$$
$$\blue{\text{Première manière :}}$$ Avec la formule du cours
Ainsi :
$$\blue{\text{Deuxième manière :}}$$ En utilisant les fonctionnalités de la calculatrice
$$\red{\text{Avec une Texas :}}$$
on tape pour $$P\left(X=1\right)$$
(tu peux regarder la vidéo "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)
2^nd - DISTR -- puis choisir BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(7, $$0,24$$ , 2) puis taper sur enter et on obtient :
arrondi à $$10^{-3}$$ près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp
$$\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur:}}$$
on tape pour : $$P\left(X=1\right)$$
(tu peux regarder la vidéo "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :

puis taper sur EXE et on obtient :
arrondi à $$10^{-3}$$ près.

Nous devons calculer $$P\left(X\ge 2\right)$$
Or :
$$P\left(X\ge 2\right)=1-P\left(X\le 1\right)$$
La valeur de $$P\left(X\le 1\right)$$ s'obtient grâce à la calculatrice.
En effet, pour obtenir $$P\left(X\le 1\right)$$, il faut utiliser BinomFrep avec une texas ou alors Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR avec une casio.
D'où : $$P\left(X\le 1\right)\approx0,47$$
Finalement :
$$P\left(X\ge 2\right)\approx1-0,47$$
Il vient alors que :

On introduit une nouvelle variable aléatoire $$Y$$ dénombrant les candidats admis à l’école parmi les $$n$$ tirés au sort.
On note alors $$Y$$ suit la loi binomiale $$\mathscr{B}\left(n;0,24\right)$$
Nous voulons donc calculer $$P\left(Y=0\right)$$ .
$$P\left(Y=0\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)\left(0,24\right)^{0} \left(1-0,24\right)^{n-0}$$
$$P\left(Y=0\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)\left(0,24\right)^{0} \left(0,76\right)^{n}$$
Or : $$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)=1$$ et $$\left(0,24\right)^{0}=1$$ .
Ainsi :

Il nous faut calculer : $$P\left(Y\ge 1\right)\ge 0,99$$
Or : $$P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)$$ et comme $$P\left(Y=0\right)= \left(0,76\right)^{n}$$ alors $$P\left(Y\ge 1\right)=1-0,76^{n}$$ .
Ainsi :
$$1-0,76^{n} \ge 0,99$$
$$-0,76^{n} \ge 0,99-1$$
$$-0,76^{n} \ge -0,01$$
$$0,76^{n} \le 0,01$$
$$\ln \left(0,76^{n} \right)\le \ln \left(0,01\right)$$
$$n\ln \left(0,76\right)\le \ln \left(0,01\right)$$
$$n\ge \frac{\ln \left(0,01\right)}{\ln \left(0,76\right)}$$ $$\;\;\;$$ On a divisé par $$\ln \left(0,76\right)<0$$, on change donc le sens de l'inégalité.
Or : $$\frac{\ln \left(0,01\right)}{\ln \left(0,76\right)} \approx 16,78$$ $$\;\;\;$$ Il faut prendre le premier entier supérieur à $$16,78$$
Il en résulte que :