Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 6 juin 2024. Exercice 1 - Exercice 1

On effectue ici des tirages avec remise.

il y a $$8$$ possibilités pour le premier jeton.

il y a $$8$$ possibilités pour le deuxième jeton.

il y a $$8$$ possibilités pour le troisième jeton.

On tire $$3$$ jetons avec remise de manière successive un à un, chaque tirage est donc un $$3$$-uplet d'éléments de $$\left\{1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$$ .
Ainsi, il y a donc $$\blue{8}^{\red{3}}$$ tirages possibles c'est à dire $$512$$ tirages possibles.

On effectue ici des tirages avec remise.

il y a $$8$$ possibilités pour le premier jeton. Ensuite on ne peut pas retirer le jeton pris la première fois.

il y a maintenant $$7$$ possibilités pour le deuxième jeton. On ne peut ni reprendre le premier jeton pris ni le deuxième

il y a enfin $$6$$ possibilités pour le troisième jeton.

Nous avons donc $$8 \times 7 \times 6=336$$ sans répétition de numéro.
Nous pouvons également justifier de la sorte.
Ici, on appelle $$E$$ l'ensemble des $$\blue{8}$$ éléments . Ainsi : $$E=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$$ .
Nous voulons des tirages à $$\red{3}$$ chiffres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de $$\red{3}$$-uplets d'éléments $$\text{\pink{distincts}}$$ d'un ensemble $$E$$ à $$\blue{8}$$ éléments. (Eléments $$\text{\pink{distincts}}$$ car on ne peut pas réutiliser par exemple le chiffre $$4$$ plusieurs fois.) Nous sommes bien dans une situation $$\text{\purple{d'arrangement}} .$$
Il en résulte donc :
$$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{8!}{5!}$$
$$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1}$$
$$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=8\times 7\times 6$$
Il y a donc $$336$$ possibilités de tirages sans répétition de numéro.

Nous allons raisonner à l'aide de l'évènement contraire.
L'évènement contraire de "le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro" est "le nombre de tirages sans répétition de numéro".
Le nombre total de tirages possibles est $$512$$ .
Ainsi le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro sera égale à : $$512-336=176$$ .
Le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro est égale à $$176$$.

On note $$X_1$$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché.
On a donc $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$1$$ ; $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$2$$ ; $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$2$$ ; $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$3$$; $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$4$$; $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$5$$ et $$1$$ chance sur $$8$$ de tirer le jeton $$6$$.
On dresse alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $$X_1$$ comme suit :

Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
$$E\left(X_1\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$$
$$E\left(X_1\right)=1\times \frac{1}{8}+2\times \frac{1}{8}+3\times \frac{1}{8}+\ldots +8\times \frac{1}{8}$$
D'où :

D'après les hypothèses, les variables aléatoires $$X_1, X_2$$, et $$X_3$$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
Autrement dit : $$E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=E\left(X_3\right)=4,5$$.
Comme $$S=X_1+X_2+X_3$$ alors l'espérance de la variable aléatoire $$S$$ s'écrit :
$$E\left(S\right)=E\left(X_1+X_2+X_3\right)$$
D'après le principe de la linéarité de l'espérance, on a :
$$E\left(S\right)=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right)$$
$$E\left(S\right)=4,5+4,5+4,5$$
Ainsi :

On note $$S=X_1+X_2+X_3$$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
Pour obtenir $$S=24$$ il faut donc que les trois jetons piochés soient tous numérotés $$8$$.
Le premier jeton est $$8$$ ; le deuxième jeton est $$8$$ et le troisième jeton est également $$8$$.
Il n'y a qu'un unique tirage possible qui donnera $$(8 ; 8 ; 8)$$ et d'après la question $$1$$ nous avons $$512$$ tirages possibles.
Ainsi :

Nous allons dénombrer tous les tirages qui vont nous donner une somme supérieure ou égale à $$22$$ .
Le tirage $$(8 ; 8 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$24$$ .
Le tirage $$(8 ; 8 ; 7)$$ donnera une somme égale à $$23$$ .
Le tirage $$(8 ; 7 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$23$$ .
Le tirage $$(7 ; 8 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$23$$ .
Le tirage $$(8 ; 8 ; 6)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Le tirage $$(8 ; 6 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Le tirage $$(6 ; 8 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Le tirage $$(8 ; 7 ; 7)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Le tirage $$(7 ; 8 ; 7)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Le tirage $$(7 ; 7 ; 8)$$ donnera une somme égale à $$22$$ .
Les autres tirages donneront une somme inférieure ou égale à $$21$$.
Il y a donc exactement $$10$$ tirages permettant d'avoir une somme supérieure ou égale à $$22$$.
Autrement dit, il existe exactement $$10$$ tirages permettant de gagner un lot.

Notons $$A$$ l'évènement gagner un lot.
$$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }A}{\text{nombre des issues possibles}}$$
$$p\left(A\right)=\frac{10}{512}$$
Ainsi :