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Montrer que deux plans sont orthogonaux - Exercice 1

12 min
20
Question 1
Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):5x+2z−1=0\left(P_{1} \right):5x+2z-1=0 et (P2):3x+y+z+4=0\left(P_{2} \right):3x+y+z+4=0

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→⋅n2→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
  • si n1→⋅n2→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(502)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) et n2→(311)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
n1→⋅n2→=5×3+0×1+2×1=17≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =5\times 3+0\times 1+2\times 1=17\ne 0. Il en résulte que les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Question 2
Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):3x+2y−z−1=0\left(P_{1} \right):3x+2y-z-1=0 et (P2):−x+2y+z+4=0\left(P_{2} \right):-x+2y+z+4=0

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→⋅n2→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
  • si n1→⋅n2→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(32−1)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) et n2→(−121)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
n1→⋅n2→=3×(−1)+2×2+(−1)×1=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =3\times \left(-1 \right)+2\times 2+\left(-1 \right)\times 1=0. Il en résulte que les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
Question 3
Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):3x+2z=1\left(P_{1} \right):3x+2z=1 et (P2):2x+y+4=0\left(P_{2} \right):2x+y+4=0

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→⋅n2→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
  • si n1→⋅n2→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(302)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) et n2→(220)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
n1→⋅n2→=3×2+0×2+2×0=6≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =3\times 2+0\times 2+2\times 0 =6\ne 0. Il en résulte que les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Question 4
Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):3x−4y+5z−1=0\left(P_{1} \right):3x-4y+5z-1=0 et (P2):−2x+y+2z+3=0\left(P_{2} \right):-2x+y+2z+3=0

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→⋅n2→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
  • si n1→⋅n2→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(3−45)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right) et n2→(−212)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {2} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
n1→⋅n2→=3×(−2)+(−4)×1+5×2=0.\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =3\times \left(-2\right)+\left(-4\right)\times 1+5\times 2=0.
Il en résulte que les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
Question 5
Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):x+z=0\left(P_{1} \right):x+z=0 et (P2):−2x+3y−5=0\left(P_{2} \right):-2x+3y-5=0

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→⋅n2→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux.
  • si n1→⋅n2→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(101)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) et n2→(−230)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
n1→⋅n2→=1×(−2)+0×3+1×0=−2≠0.\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =1\times \left(-2\right)+0\times 3+1\times 0=-2\ne 0.
Il en résulte que les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas orthogonaux.