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Montrer que deux droites sont orthogonales - Exercice 1

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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O,i→,j→,k→)(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=−t−1y=2t+5z=−t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t-1} \\ {y} & {=} & {2t+5} \\ {z} & {=} & {-t+3} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=2sy=−s+1z=3s−1\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2s} \\ {y} & {=} & {-s+1} \\ {z} & {=} & {3s-1} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}
Question 1

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles orthogonales ?

Correction
  • Deux droites sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
    • On note u1→(−12−1)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) et u2→(2−13)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {3} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
    u1→⋅u2→=(−1)×2+2×(−1)+(−1)×3=−7≠0.\overrightarrow{u_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{2} } =\left(-1\right)\times 2+2\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 3=-7\ne 0.
    Dans ce cas, les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas orthogonales.