Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N} -x_{M} } \\ {y_{N} -y_{M} } \\ {z_{N} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {\frac{1}{2} -1} \\ {1-\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {x_{P} -x_{M} } \\ {y_{P} -y_{M} } \\ {z_{P} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {1-1} \\ {0-1} \\ {-\frac{5}{4} -\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)$$

On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points $$M,N$$ et $$P$$ ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.

Commençons par calculer le vecteur $$\overrightarrow{QR}$$ .
$$\overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {x_{R} -x_{Q} } \\ {y_{R} -y_{Q} } \\ {z_{R} -z_{Q} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {1-\frac{4}{7}} \\ {0-\frac{24}{35} } \\ {1-\frac{23}{35} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {\frac{3}{7}} \\ {-\frac{24}{35} } \\ {\frac{12}{35} } \end{array}\right)$$
D'après la question précédente, nous savons que : $$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)$$
Calculons $$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{QR}$$ et $$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{QR}$$
D'une part :
$$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{QR}=0\times\frac{3}{7}-1\times\left(-\frac{24}{35}\right)-2\times\frac{12}{35}=0$$
D'autre part :
$$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{QR}=-1\times\frac{3}{7}-\frac{1}{2}\times\left(-\frac{24}{35}\right)+\frac{1}{4}\times\frac{12}{35}=0$$
$$\overrightarrow{QR}$$ est orthogonal à deux vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$ non colinéaires du plan $$\left(MNP\right)$$ .
Il en résulte donc que la droite $$\left(QR\right)$$ et le plan $$\left(MNP\right)$$ sont bien orthogonaux.

Commençons par calculer le vecteur $$\overrightarrow{MQ}$$ .
$$\overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {x_{Q} -x_{M} } \\ {y_{Q} -y_{M} } \\ {z_{Q} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {\frac{4}{7} -1} \\ {\frac{24}{35} -1} \\ {\frac{23}{35} -\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)$$
Soient deux réels $$x$$ et $$y$$, il vient alors que :
$$\overrightarrow{MQ} =x\overrightarrow{MN} +y\overrightarrow{MP}$$
$$\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x} \\ {-\frac{1}{2} x} \\ {\frac{1}{4} x} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-y} \\ {-2y} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x} \\ {-\frac{1}{2} x-y} \\ {\frac{1}{4} x-2y} \end{array}\right)$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-x} & {=} & {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} x-y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} x-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} x-y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} x-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} -y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} \times \frac{3}{7} -2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{3}{14} -y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{3}{28} -2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-y} & {=} & {-\frac{11}{35} +\frac{3}{14} } \\ {-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} -\frac{3}{28} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-y} & {=} & {-\frac{1}{10} } \\ {-2y} & {=} & {-\frac{1}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {-\frac{1}{5} \div \left(-2\right)} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {-\frac{1}{5} \times \frac{1}{\left(-2\right)} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que
Les vecteurs $$\overrightarrow{MQ}$$ ; $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$ sont bien coplanaires.

D'après la question précédente, nous avons montré que les vecteurs $$\overrightarrow{MQ}$$ ; $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$ sont coplanaires.
Autrement dit, les points $$M$$ , $$Q$$ , $$N$$ et $$P$$ appartiennent tous à un même plan.
Il en résulte donc que le point $$Q$$ appartient au plan $$\left(MNP\right)$$

D'après la question $$2$$, nous avons montré que la droite $$\left(QR\right)$$ et le plan $$\left(MNP\right)$$ sont orthogonaux.
De plus, d'après la question $$4$$, le point $$Q$$ appartient au plan $$\left(MNP\right)$$.
Il en résulte donc que le projeté orthogonal du point $$R$$ sur le plan $$\left(MNP\right)$$ n'est autre que le point $$Q$$ .

La distance du point $$R$$ au plan $$\left(MNP\right)$$ correspond donc à la distance $$QR$$ .
Nous savons que $$Q\left(\frac{4}{7};\frac{24}{35};\frac{23}{35}\right)$$ et $$R\left(1;0;1\right)$$ .
Ainsi :
$$QR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{Q} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{Q} \right)^{2} +\left(z_{R} -z_{Q} \right)^{2} }$$
$$QR=\sqrt{\left(1-\frac{4}{7} \right)^{2} +\left(0-\frac{24}{35} \right)^{2} +\left(1-\frac{23}{35} \right)^{2} }$$
Finalement :